Упр.240 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 240. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ расстояние от наблюдателя до стены. Тогда

$$BC=1{,}8\text{ м}, \quad CD=1{,}4\text{ м}, \quad BD=3{,}2\text{ м}.$$

Угол зрения по вертикали равен $$\angle DAB-\angle CAB$$. Поэтому

$$\tan \angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{1{,}8}{x}, \qquad \tan \angle DAB=\frac{BD}{AB}=\frac{3{,}2}{x}.$$

Тогда

$$\tan \angle DAC=\frac{\tan \angle DAB-\tan \angle CAB}{1+\tan \angle DAB\cdot \tan \angle CAB}=\frac{\frac{3{,}2}{x}-\frac{1{,}8}{x}}{1+\frac{3{,}2}{x}\cdot \frac{1{,}8}{x}}=\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76}.$$

Чтобы угол зрения был наибольшим, нужно максимизировать функцию

$$f(x)=\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1{,}4(x^2+5{,}76)-1{,}4x\cdot 2x}{(x^2+5{,}76)^2}=\frac{1{,}4(5{,}76-x^2)}{(x^2+5{,}76)^2}.$$

При максимуме $$f'(x)=0$$, значит

$$5{,}76-x^2=0, \qquad x^2=5{,}76, \qquad x=2{,}4.$$