Упр.24 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(67-42v2)+v(19-6v2);
б) v(51-4v77)-v(47-4v33).

а)

$$\sqrt{67-42\sqrt2}+\sqrt{19-6\sqrt2}$$
Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
$$67-42\sqrt2=49+18-2\cdot 7\cdot 3\sqrt2=(7-3\sqrt2)^2,$$
$$19-6\sqrt2=18+1-2\cdot 3\sqrt2\cdot 1=(3\sqrt2-1)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{67-42\sqrt2}+\sqrt{19-6\sqrt2}=\sqrt{(7-3\sqrt2)^2}+\sqrt{(3\sqrt2-1)^2}.$$
Так как $$7-3\sqrt2>0$$ и $$3\sqrt2-1>0,$$ получаем
$$7-3\sqrt2+3\sqrt2-1=6.$$

б)

$$\sqrt{51-4\sqrt{77}}-\sqrt{47-4\sqrt{33}}$$
Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
$$51-4\sqrt{77}=44+7-2\cdot 2\sqrt{11}\cdot \sqrt7=(2\sqrt{11}-\sqrt7)^2,$$
$$47-4\sqrt{33}=44+3-2\cdot 2\sqrt{11}\cdot \sqrt3=(2\sqrt{11}-\sqrt3)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{51-4\sqrt{77}}-\sqrt{47-4\sqrt{33}}=\sqrt{(2\sqrt{11}-\sqrt7)^2}-\sqrt{(2\sqrt{11}-\sqrt3)^2}.$$
Так как $$2\sqrt{11}-\sqrt7>0$$ и $$2\sqrt{11}-\sqrt3>0,$$ имеем
$$2\sqrt{11}-\sqrt7-(2\sqrt{11}-\sqrt3)=\sqrt3-\sqrt7.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$\sqrt3-\sqrt7$$.