Упр.239 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.

Подробный ответ

Пусть $$t$$ ч — искомый момент времени. Тогда расстояния машин от перекрёстка равны

$$OA=2-40t,\qquad OB=3-50t.$$

Так как улицы пересекаются под прямым углом, расстояние между машинами:

$$S(t)=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(2-40t)^2+(3-50t)^2}.$$

Упростим:

$$S(t)=\sqrt{4-160t+1600t^2+9-300t+2500t^2}=\sqrt{13-460t+4100t^2}.$$

Чтобы расстояние было наименьшим, достаточно минимизировать выражение под корнем:

$$13-460t+4100t^2.$$

Это квадратный трёхчлен, его минимум достигается в вершине параболы:

$$t=\frac{460}{2\cdot 4100}=\frac{23}{410}.$$