Упр.238 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 238. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Пусть диагонали параллелограмма равны $$a$$ и $$b$$. По условию

$$a+b=12,$$

значит, $$b=12-a.$$

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его диагоналей:

$$S=a^2+b^2.$$

Тогда

$$S(a)=a^2+(12-a)^2.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S(a)=a^2+144-24a+a^2=2a^2-24a+144,$$

$$S'(a)=4a-24.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4a-24=0,$$

$$a=6.$$

Тогда $$b=12-6=6.$$

Минимальное значение суммы квадратов:

$$S_{\min}=6^2+6^2=36+36=72.$$

Ответ

$$72\ \text{см}^2$$