Упр.236 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) ln(x)=1-x; б) 2^x=3-x.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\ln x+x-1.$$

Её область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x}+1.$$

При $$x>0$$ имеем $$\frac{1}{x}>0$$, значит

$$f'(x)>0.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ строго возрастает на $$\left(0,+\infty\right).$$

Проверим значение при $$x=1$$:

$$f(1)=\ln 1+1-1=0.$$

Значит, уравнение имеет единственный корень:

$$x=1.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=2^x+x-3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2^x\ln 2+1.$$

Так как $$2^x>0$$ и $$\ln 2>0,$$ то

$$f'(x)>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ строго возрастает на всей числовой прямой.

Проверим значение при $$x=1$$:

$$f(1)=2^1+1-3=0.$$

Значит, уравнение имеет единственный корень:

$$x=1.$$

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=1$$.