Упр.235 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=18x^2+8x^3-3x^4, [1; 3];
б) f(x)=2cos(x)-cos(2x), [0; ?];
в) f(x)=2/x+x^2, [1/2; 1];
г) f(x)=sin(x)-x, [-?; ?].

1. а) $$f(x)=18x^2+8x^3-3x^4,\quad [1;3].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=36x+24x^2-12x^3=12x(3+2x-x^2).$$

   Критические точки на отрезке определяются из уравнения

   $$3+2x-x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2-2x-3=0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+1)=0.$$

   На отрезке $$[1;3]$$ лежит точка $$x=3$$, а также нужно проверить концы отрезка:

   $$f(1)=18+8-3=23,$$

   $$f(3)=18\cdot 9+8\cdot 27-3\cdot 81=162+216-243=135.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$135$$, наименьшее — $$23$$.

2. б) $$f(x)=2\cos x-\cos 2x,\quad [0;\pi].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-2\sin x+2\sin 2x.$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$f'(x)=-2\sin x+4\sin x\cos x=2\sin x(2\cos x-1).$$

   Критические точки на $$[0;\pi]$$:

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=0,\pi,$$

   $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}.$$

   Вычислим значения функции:

   $$f(0)=2\cos 0-\cos 0=2-1=1,$$

   $$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac12-\left(-\frac12\right)=\frac32,$$

   $$f(\pi)=2\cos\pi-\cos 2\pi=2\cdot(-1)-1=-3.$$

   Значит, наибольшее значение равно $$\frac32$$, наименьшее — $$-3$$.

3. в) $$f(x)=\frac{2}{x}+x^2,\quad \left[\frac12;1\right].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+2x.$$

   Приравняем к нулю:

   $$-\frac{2}{x^2}+2x=0 \;\Rightarrow\; -2+2x^3=0 \;\Rightarrow\; x^3=1 \;\Rightarrow\; x=1.$$

   Проверим значения на концах отрезка:

   $$f\!\left(\frac12\right)=\frac{2}{1/2}+\left(\frac12\right)^2=4+\frac14=\frac{17}{4},$$

   $$f(1)=\frac{2}{1}+1^2=3.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{17}{4}$$, наименьшее — $$3$$.

4. г) $$f(x)=\sin x-x,\quad [-\pi;\pi].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\cos x-1.$$

   $$f'(x)=0 \Rightarrow \cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n.$$

   На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ подходит только $$x=0$$. Проверим значения в точках $$-\pi,0,\pi$$:

   $$f(-\pi)=\sin(-\pi)-(-\pi)=\pi,$$

   $$f(0)=\sin 0-0=0,$$

   $$f(\pi)=\sin\pi-\pi=-\pi.$$

   Значит, наибольшее значение равно $$\pi$$, наименьшее — $$-\pi$$.

Ответ

а) $$135$$; $$23$$. б) $$\frac32$$; $$-3$$. в) $$\frac{17}{4}$$; $$3$$. г) $$\pi$$; $$-\pi$$.