Упр.232 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=x^2(x-2)^2; б) f(x)=8/x+x/2;
в) f(x)=x^3-3x^2-9x; г) f(x)=x/(4-x^2).

1. а) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=2x(x-2)^2+x^2\cdot 2(x-2)=2x(x-2)(2x-2)=4x(x-1)(x-2).$$

   Критические точки:
   $$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\;1,\;2.$$

   Знак производной:
   $$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(1;2),$$
   $$f'(x)>0 \text{ на } (0;1)\cup(2;+\infty).$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2]$$ и возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty).$$

   Значения в точках экстремума:
   $$f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(2)=0.$$

   Область определения:
   $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$
   область значений:
   $$E(f)=[0;+\infty).$$

2. б) $$f(x)=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}$$

   Область определения:
   $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=-\frac{8}{x^2}+\frac12=\frac{x^2-16}{2x^2}.$$

   Так как $$2x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то знак производной определяется числителем:
   $$x^2-16=0 \Rightarrow x=\pm 4.$$

   Тогда
   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty),$$
   $$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-4;0)\cup(0;4).$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)$$ и убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$

   Экстремумы:
   $$f(-4)=-2-2=-4,$$
   $$f(4)=2+2=4.$$

   Область значений:
   $$E(f)=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$

3. в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$

   Критические точки:
   $$f'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\;3.$$

   Знак производной:
   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(3;+\infty),$$
   $$f'(x)<0 \text{ на } (-1;3).$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;3].$$

   Экстремумы:
   $$f(-1)=-1-3+9=5,$$
   $$f(3)=27-27-27=-27.$$

   Область определения:
   $$D(f)=\mathbb{R},$$
   область значений:
   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$

4. г) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$

   Область определения:
   $$4-x^2\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm 2,$$
   значит
   $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=\frac{(4-x^2)-x(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{4+x^2}{(4-x^2)^2}.$$

   Числитель и знаменатель положительны при всех $$x\in D(f),$$ поэтому
   $$f'(x)>0 \text{ на всей области определения.}$$

   Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков
   $$(-\infty;-2),\;(-2;2),\;(2;+\infty).$$

   Функция нечётная, так как
   $$f(-x)=\frac{-x}{4-x^2}=-f(x).$$

   Область значений:
   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$D=\mathbb{R},\ E=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2],$$ возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty).$$
б) $$D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$
в) $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R},$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;3].$$
г) $$D=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),\ E=\mathbb{R},$$ функция возрастает на каждом промежутке области определения.