Упр.230 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=-1/3x^3+4x^2-7x+18; б) f(x)=2x^2/(3-x);
в) f(x)=x(x^3-4)/2; г) f(x)=x/(4-x).

Подробный ответ

а) $$f(x)=-\frac13x^3+4x^2-7x+18$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-x^2+8x-7$$
Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:
$$-x^2+8x-7\ge 0$$
$$x^2-8x+7\le 0$$
$$D=64-28=36$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=7$$
Тогда
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } x\in[1;7]$$
Значит, функция возрастает на $$[1;7]$$, а убывает на $$(-\infty;1]\cup[7;+\infty)$$.
В точке $$x=1$$ — минимум, в точке $$x=7$$ — максимум.
б) $$f(x)=\frac{2x^2}{3-x}$$
Область определения: $$x\ne 3$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{4x(3-x)+2x^2}{(3-x)^2}$$
$$f'(x)=\frac{12x-2x^2}{(3-x)^2}=\frac{2x(6-x)}{(3-x)^2}$$
Так как знаменатель всегда положителен при $$x\ne 3$$, знак производной определяется числителем:
$$2x(6-x)\ge 0$$
Отсюда
$$x\in[0;6]$$
С учётом точки разрыва $$x=3$$ получаем:
функция возрастает на $$[0;3)\cup(3;6]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[6;+\infty)$$.
В точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=6$$ — максимум.
в) $$f(x)=\frac{x(x^3-4)}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^3-4)+x\cdot 3x^2}{2}$$
$$f'(x)=\frac{4x^3-4}{2}=2(x^3-1)$$
Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:
$$x^3-1\ge 0$$
$$x\ge 1$$
Следовательно, функция возрастает на $$[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;1]$$.
В точке $$x=1$$ — минимум.
г) $$f(x)=\frac{x}{4-x}$$
Область определения: $$x\ne 4$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(4-x)-x\cdot(-1)}{(4-x)^2}$$
$$f'(x)=\frac{4}{(4-x)^2}$$
Так как $$\frac{4}{(4-x)^2}>0$$ при всех $$x\ne 4$$, функция возрастает на каждом промежутке области определения:
$$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$$
Точек максимума и минимума нет.