Упр.229 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 229. Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем ?ABC=60°. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/ч, поезд — к С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ=200 км?

Подробный ответ

Пусть $$t$$ — время движения, выраженное в часах.

Тогда расстояние, которое проедет автомобиль, равно $$80t$$ км, а поезд — $$50t$$ км.

По теореме косинусов для расстояния между ними получаем:

$$ S(t)=(200-80t)^2+(50t)^2-2\cdot(200-80t)\cdot 50t\cdot \cos 60^\circ. $$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, имеем:

$$ S(t)=(200-80t)^2+(50t)^2-(200-80t)\cdot 50t. $$

Раскроем скобки:

$$ S(t)=40000-32000t+6400t^2+2500t^2-10000t+4000t^2 $$

$$ S(t)=12900t^2-42000t+40000. $$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$ t=\frac{-b}{2a}=\frac{42000}{2\cdot12900}=\frac{42000}{25800}=\frac{70}{43}. $$