Упр.229 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v9,009; б) 1,0001^15; в) 0,999^(-5); г) 8,008^(1/3).

Используем формулу приближённого вычисления: если $$x=a+\Delta x$$ и $$\Delta x$$ мало, то

$$f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x.$$

1. $$f(x)=\sqrt{x}, \quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   $$\sqrt{9{,}009}=f(9{,}009)\approx f(9)+f'(9)\cdot 0{,}009=3+\frac{0{,}009}{2\cdot 3}.$$

   $$3+\frac{0{,}009}{6}=3+0{,}0015=3{,}0015.$$

2. $$f(x)=x^{15}, \quad f'(x)=15x^{14}.$$

   $$1{,}0001^{15}=f(1{,}0001)\approx f(1)+f'(1)\cdot 0{,}0001=1+15\cdot 0{,}0001.$$

   $$1+0{,}0015=1{,}0015.$$

3. $$f(x)=x^{-5}, \quad f'(x)=-5x^{-6}.$$

   $$0{,}999^{-5}=f(0{,}999)\approx f(1)+f'(1)\cdot(-0{,}001).$$

   Так как $$f(1)=1$$ и $$f'(1)=-5,$$ получаем

   $$0{,}999^{-5}\approx 1+(-5)\cdot(-0{,}001)=1{,}005.$$

4. $$f(x)=\sqrt[3]{x}, \quad f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

   $$\sqrt[3]{8{,}008}=f(8{,}008)\approx f(8)+f'(8)\cdot 0{,}008.$$

   Так как $$f(8)=2$$ и $$f'(8)=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12},$$ то

   $$2+\frac{0{,}008}{12}\approx 2+0{,}0007=2{,}0007.$$

Ответ

а) $$3{,}0015$$; б) $$1{,}0015$$; в) $$1{,}005$$; г) $$2{,}0007$$.