Упр.227 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) R(х) каждое свое значение принимает не более чем при k=max(m, n) значениях х;
б) R(х) имеет не более чем (m+n-1) точек экстремума, если m?n, и не более чем (m+n-2) точек экстремума, если m=n.

Подробный ответ

Пусть $$R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)},$$ где $$\deg P(x)=n,$$ $$\deg Q(x)=m.$$

Докажем утверждение а).
Если $$R(x)=C,$$ то
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=C,$$
откуда
$$P(x)-C\cdot Q(x)=0.$$
Получили уравнение с многочленом $$I(x)=P(x)-C\cdot Q(x).$$ Его степень не превосходит $$\max(m,n).$$ Значит, число его корней, а следовательно, и число значений $$x,$$ при которых $$R(x)=C,$$ не больше чем $$\max(m,n).$$
Докажем утверждение б).
Точки экстремума функции $$R(x)$$ могут быть только среди решений уравнения $$R'(x)=0$$ (и точек, где производная не существует, но для дробно-рациональной функции это сводится к анализу числителя производной).
Найдём производную:
$$R'(x)=\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}.$$
Следовательно, для критических точек нужно, чтобы
$$P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)=0.$$
Обозначим
$$M(x)=P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x).$$
Тогда
$$\deg P'(x)=n-1,\qquad \deg Q'(x)=m-1.$$
Поэтому
$$\deg\bigl(P'(x)Q(x)\bigr)=n+m-1,$$
$$\deg\bigl(P(x)Q'(x)\bigr)=n+m-1.$$
Значит,
$$\deg M(x)\le n+m-1.$$
Если $$m\ne n,$$ то число точек экстремума не превосходит $$m+n-1.$$
Если $$m=n,$$ то старшие члены в $$P'(x)Q(x)$$ и $$P(x)Q'(x)$$ взаимно уничтожаются, поэтому
$$\deg M(x)\le m+n-2.$$
Следовательно, число точек экстремума не превосходит $$m+n-2.$$