Упр.226 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 226. Докажите, что каждое свое значение многочлен степени n принимает не более чем n раз.

Пусть многочлен $$P(x)$$ степени $$n$$ принимает некоторое значение $$A$$ в $$p$$ различных точках, причём $$p>n$$.

Тогда у многочлена $$P(x)-A$$ тоже степень $$n$$, и он имеет $$p$$ корней.

Но многочлен степени $$n$$ не может иметь более чем $$n$$ корней. Получаем противоречие.

Следовательно, каждое своё значение многочлен степени $$n$$ может принимать не более $$n$$ раз.

Ответ

Каждое значение многочлен степени $$n$$ принимает не более $$n$$ раз.