Упр.225 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 225. Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней и не более чем (n-1) точек экстремума.

Подробный ответ

Пусть $$P(x)$$ — многочлен степени $$n$$.

Докажем сначала, что он имеет не более чем $$n$$ корней. Если число $$a$$ является корнем многочлена $$P(x)$$, то $$P(a)=0$$, значит, $$P(x)$$ делится на $$x-a$$:

$$P(x)=(x-a)Q(x),$$

где $$Q(x)$$ — многочлен степени $$n-1$$. Следовательно, каждый найденный корень понижает степень многочлена на 1. Поэтому многочлен степени $$n$$ не может иметь более чем $$n$$ различных действительных корней.

Теперь рассмотрим точки экстремума. Если $$x_0$$ — точка экстремума многочлена $$P(x)$$, то в этой точке производная равна нулю:

$$P'(x_0)=0.$$

Производная многочлена степени $$n$$ является многочленом степени $$n-1$$. А многочлен степени $$n-1$$, как уже доказано, имеет не более чем $$n-1$$ корней. Значит, у $$P'(x)$$ не более чем $$n-1$$ нулей.

Так как каждая точка экстремума многочлена является нулём его производной, то число точек экстремума также не превосходит $$n-1$$.

Что и требовалось доказать.