Упр.224 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 224. Докажите, что любое кубическое уравнение x^3+ax^2+bx+c=0 имеет хотя бы один действительный корень.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Она непрерывна при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

При $$x\to -\infty$$ старший член $$x^3$$ определяет поведение функции, поэтому

$$f(x)\to -\infty.$$

При $$x\to +\infty$$ имеем

$$f(x)\to +\infty.$$

Так как функция $$f(x)$$ непрерывна и принимает значения разных знаков при достаточно больших по модулю отрицательных и положительных $$x$$, то по теореме о промежуточных значениях существует такое число $$x_0$$, что

$$f(x_0)=0.$$

Значит, уравнение

$$x^3+ax^2+bx+c=0$$

имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ

Любое кубическое уравнение $$x^3+ax^2+bx+c=0$$ имеет хотя бы один действительный корень.