Упр.222 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) cos(x)=?/2-x; б) sin(x)=-x-?.

а) Рассмотрим уравнение

$$\cos x=\frac{\pi}{2}-x.$$

Перенесём всё в одну часть:

$$f(x)=\cos x+x-\frac{\pi}{2}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\sin x+1.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$f'(x)=1-\sin x\ge 0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ не убывает на всей числовой прямой. Кроме того,

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0.$$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: $$x=\frac{\pi}{2}.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\sin x=-x-\pi.$$

Перенесём всё в одну часть:

$$g(x)=x+\sin x+\pi.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=1+\cos x.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$g'(x)=1+\cos x\ge 0.$$

Значит, функция $$g(x)$$ не убывает на всей числовой прямой. Проверим значение при $$x=-\pi$$:

$$g(-\pi)=-\pi+\sin(-\pi)+\pi=0.$$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: $$x=-\pi.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}$$; б) $$x=-\pi$$.