Упр.221 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=(a^2-1)/3x^3+(a-1)x^2+2x+5;
б) f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+48ax+6x-5.

а) Чтобы функция возрастала на всей прямой, необходимо, чтобы её производная была неотрицательна при всех $x$:

$$f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+5$$

$$f'(x)=(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2$$

Квадратный трёхчлен должен быть неотрицателен при всех $x$. Для этого нужно:

$$D\le 0$$

$$D=4(a-1)^2-8(a^2-1)\le 0$$

$$4a^2-8a+4-8a^2+8\le 0$$

$$-4a^2-8a+12\le 0$$

$$a^2+2a-3\ge 0$$

$$ (a+3)(a-1)\ge 0 $$

Отсюда

$$a\le -3 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$

Проверим коэффициент при $x^2$:

$$a^2-1\ge 0,$$

что выполняется при $a\le -1$ или $a\ge 1$.

Совмещая условия, получаем:

$$a\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty).$$

б)

$$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+48ax+6x-5$$

Найдём производную:

$$f'(x)=6x^2-6(a+2)x+48a+6$$

Чтобы функция возрастала на всей прямой, нужно, чтобы

$$f'(x)\ge 0$$

при всех $x$. Для квадратного трёхчлена это возможно, если его дискриминант не положителен:

$$D=[-6(a+2)]^2-4\cdot 6\cdot(48a+6)\le 0$$

$$36(a+2)^2-24(48a+6)\le 0$$

$$36a^2+144a+144-1152a-144\le 0$$

$$36a^2-1008a\le 0$$

$$36a(a-28)\le 0$$

$$a(a-28)\le 0$$

Отсюда

$$0\le a\le 28.$$

Ответ

а) $$(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$$; б) $$[0,28]$$.