Упр.221 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=2^x+lg(x); б) f(x)=e^(-3x)+2log(3; 2x);
в) f(x)=x^2·5^(2x); г) f(x)=ln(x)/(e^x+e^(-x)).

1. $$f(x)=2^x+\lg x$$

   Используем формулы:

   $$\left( a^x \right)’=a^x\ln a,\qquad (\lg x)’=\frac{1}{x\ln 10}$$

   Тогда

   $$f'(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 10}.$$

2. $$f(x)=e^{-3x}+2\log_3(2x)$$

   Находим производные слагаемых:

   $$\left(e^{-3x}\right)’=-3e^{-3x},$$

   $$\left(\log_3(2x)\right)’=\frac{(2x)’}{2x\ln 3}=\frac{2}{2x\ln 3}=\frac{1}{x\ln 3}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-3e^{-3x}+2\cdot \frac{1}{x\ln 3}=\frac{2}{x\ln 3}-3e^{-3x}.$$

3. $$f(x)=x^2\cdot 5^{2x}$$

   Применим правило производной произведения:

   $$f'(x)=(x^2)’\cdot 5^{2x}+x^2\cdot (5^{2x})’$$

   $$f'(x)=2x\cdot 5^{2x}+x^2\cdot 5^{2x}\cdot 2\ln 5$$

   Вынесем общий множитель:

   $$f'(x)=2x\cdot 5^{2x}\left(1+x\ln 5\right).$$

4. $$f(x)=\frac{\ln x}{e^x+e^{-x}}$$

   Используем правило производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(\ln x)'(e^x+e^{-x})-\ln x\,(e^x+e^{-x})’}{(e^x+e^{-x})^2}$$

   $$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(e^x+e^{-x})-\ln x\,(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$$

   Приведём к общему виду:

   $$f'(x)=\frac{e^x+e^{-x}-x\left(e^x-e^{-x}\right)\ln x}{x\left(e^x+e^{-x}\right)^2}.$$

Ответ

а) $$f'(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 10}$$

б) $$f'(x)=\frac{2}{x\ln 3}-3e^{-3x}$$

в) $$f'(x)=2x\cdot 5^{2x}\left(1+x\ln 5\right)$$

г) $$f'(x)=\frac{e^x+e^{-x}-x\left(e^x-e^{-x}\right)\ln x}{x\left(e^x+e^{-x}\right)^2}$$