Упр.22 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) kv2+pv3, где k и р — целые числа, отличные от нуля;
б) 3,272772777277772… (после первой двойки стоит одна семерка, после второй — две, после третьей — три и т. д., после n-й двойки — n семерок и т. д.).

Подробный ответ

а) Предположим, что число $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$ рационально. Тогда существует рациональное число $$r$$ такое, что

$$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}=r.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ r^2=(k\sqrt{2}+p\sqrt{3})^2=2k^2+2kp\sqrt{6}+3p^2. $$

Тогда

$$ 2kp\sqrt{6}=r^2-2k^2-3p^2, $$

откуда

$$ \sqrt{6}=\frac{r^2-2k^2-3p^2}{2kp}. $$

Правая часть рациональна, значит $$\sqrt{6}$$ рационально. Это невозможно, следовательно, число $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$ иррационально.

б) Рассмотрим число

$$3,272772777277772\ldots$$

Предположим, что оно рационально. Тогда его десятичная запись периодична. Но в данном числе после первой двойки стоит одна семёрка, после второй — две семёрки, после третьей — три семёрки и так далее. Значит, длина блока семёрок неограниченно возрастает, и никакого периода быть не может.

Получили противоречие. Следовательно, данное число иррационально.