Упр.22 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$\frac{1+\tg \alpha}{1+\ctg \alpha}$$, если $$\cos \alpha=\frac{12}{13},\ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   Преобразуем выражение:
   $$\frac{1+\tg \alpha}{1+\ctg \alpha} =\frac{1+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} =\frac{\frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha}} =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\tg \alpha.$$
   Так как $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\sin \alpha<0.$$ Тогда $$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2 \alpha} =-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} =-\sqrt{\frac{25}{169}} =-\frac{5}{13}.$$ Следовательно, $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} =-\frac{5}{12}.$$

2. б) $$\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}$$, если $$\tg \alpha=\frac{5}{4}.$$

   Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:
   $$\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha} =\frac{\tg \alpha+1}{\tg \alpha-1}.$$
   Подставим $$\tg \alpha=\frac{5}{4}$$:
   $$\frac{\frac{5}{4}+1}{\frac{5}{4}-1} =\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}} =9.$$

3. в) $$\frac{\cos \alpha+\ctg \alpha}{\ctg \alpha}$$, если $$\cos \alpha=-\frac{1}{3},\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Преобразуем выражение:
   $$\frac{\cos \alpha+\ctg \alpha}{\ctg \alpha} =\frac{\cos \alpha+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} =\frac{\cos \alpha\left(1+\frac{1}{\sin \alpha}\right)}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} =1+\sin \alpha.$$
   Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\sin \alpha<0.$$ Тогда $$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2 \alpha} =-\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2} =-\sqrt{\frac{8}{9}} =-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$ Значит, $$1+\sin \alpha=1-\frac{2\sqrt{2}}{3} =\frac{3-2\sqrt{2}}{3}.$$

4. г) $$\sin^2 \beta-\cos^2 \beta,$$ если $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta=0{,}5.$$

   Используем тождество $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$:
   $$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta =(1-\cos^2 \alpha)-(1-\sin^2 \beta) =\sin^2 \beta-\cos^2 \alpha =-(\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta).$$
   Тогда
   $$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta=-0{,}5.$$

Ответ

а) $$-\frac{5}{12}$$; б) $$9$$; в) $$\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$$; г) $$-0{,}5$$.