Упр.219 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=x^2(vx-1); б) f(x)=x^2v(1-2x);
в) f(x)=6sin(x)-cos(2x); г) f(x)=2sin(x)+3cos(x).

1. а) $$f(x)=x^2(\sqrt{x}-1), \quad x\ge 0.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2x(\sqrt{x}-1)+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

   $$ f'(x)=2x\sqrt{x}-2x+\frac12 x\sqrt{x} $$

   $$ f'(x)=\frac52 x\sqrt{x}-2x=x\left(\frac52\sqrt{x}-2\right). $$

   Так как $$x\ge 0,$$ то знак производной определяется выражением $$\frac52\sqrt{x}-2.$$

   $$ f'(x)\ge 0 \iff \frac52\sqrt{x}-2\ge 0 \iff \sqrt{x}\ge \frac45 \iff x\ge \frac{16}{25}. $$

   Следовательно, функция убывает на $$\left[0;\frac{16}{25}\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac{16}{25};+\infty\right).$$

   В точке $$x=\frac{16}{25}$$ достигается минимум:

   $$ x_{\min}=\frac{16}{25}. $$

2. б) $$f(x)=x^2\sqrt{1-2x}, \quad x\le \frac12.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2x\sqrt{1-2x}+x^2\cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} $$

   $$ f'(x)=2x\sqrt{1-2x}-\frac{x^2}{\sqrt{1-2x}} $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ f'(x)=\frac{2x(1-2x)-x^2}{\sqrt{1-2x}}=\frac{2x-5x^2}{\sqrt{1-2x}}=\frac{x(2-5x)}{\sqrt{1-2x}}. $$

   На области определения $$\sqrt{1-2x}>0$$ при $$x<\frac12,$$ поэтому знак производной определяется числителем $$x(2-5x).$$

   $$ f'(x)\ge 0 \iff x(2-5x)\ge 0 \iff 0\le x\le \frac25. $$

   Значит, функция возрастает на $$\left[0;\frac25\right]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup \left[\frac25;\frac12\right].$$

   Минимум достигается при $$x=0,$$ максимум — при $$x=\frac25.$$

3. в) $$f(x)=6\sin x-\cos 2x.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=6\cos x+2\sin 2x $$

   $$ f'(x)=6\cos x+4\sin x\cos x $$

   $$ f'(x)=2\cos x(3+2\sin x). $$

   Так как $$3+2\sin x>0$$ при любых $$x,$$ то знак производной определяется знаком $$\cos x.$$

   Следовательно, функция возрастает при $$\cos x\ge 0,$$ то есть на промежутках

   $$ \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb{Z}, $$

   и убывает на промежутках

   $$ \left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb{Z}. $$

   Минимум:

   $$ x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$

   максимум:

   $$ x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \quad n\in \mathbb{Z}. $$

4. г) $$f(x)=2\sin x+3\cos x.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2\cos x-3\sin x. $$

   Представим её в виде одной тригонометрической функции:

   $$ f'(x)=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x-\frac{3}{\sqrt{13}}\sin x\right). $$

   Пусть $$\alpha=\arccos \frac{2}{\sqrt{13}},$$ тогда $$\sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$ Поэтому

   $$ f'(x)=\sqrt{13}\cos(x+\alpha). $$

   Так как $$\sqrt{13}>0,$$ то

   $$ f'(x)\ge 0 \iff \cos(x+\alpha)\ge 0. $$

   Отсюда функция возрастает на промежутках

   $$ \left[-\frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb{Z}, $$

   и убывает на промежутках

   $$ \left[\frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}-\alpha+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb{Z}. $$

   Минимум:

   $$ x_{\min}=-\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n, $$

   максимум:

   $$ x_{\max}=\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n, \quad n\in \mathbb{Z}. $$

Ответ

а) убывает на $$\left[0;\frac{16}{25}\right]$$, возрастает на $$\left[\frac{16}{25};+\infty\right)$$; $$x_{\min}=\frac{16}{25}.$$
б) возрастает на $$\left[0;\frac25\right]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup \left[\frac25;\frac12\right]$$; $$x_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=\frac25.$$
в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$; $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
г) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right]$$; $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,$$ $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,$$ $$n\in \mathbb{Z}.$$