Упр.219 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Утверждение неверно. Приведём контрпример:

$$f_1(x)=\frac{1}{x}, \qquad f_2(x)=-\frac{1}{x}.$$

Тогда в точке $$x_0=0$$ каждая из функций $$f_1(x)$$ и $$f_2(x)$$ не имеет производной, так как не определена в этой точке.

Но их сумма

$$\varphi(x)=f_1(x)+f_2(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0$$

имеет производную в любой точке, в частности в точке $$x_0=0$$.

б) Утверждение неверно. Пусть функция $$\varphi(x)=f_1(x)+f_2(x)$$ имеет производную в точке $$x_0$$, а функция $$f_1(x)$$ в этой точке производную не имеет.

Обозначим

$$\varphi'(x_0)=a, \qquad f_1′(x_0)=b.$$

Тогда для функции $$f_2(x)$$ производная в точке $$x_0$$ существует и равна

$$f_2′(x_0)=\varphi'(x_0)-f_1′(x_0)=a-b.$$

Это противоречит условию, что $$f_2(x)$$ не имеет производной в точке $$x_0$$. Значит, если одна из функций $$f_1(x)$$ или $$f_2(x)$$ не имеет производной в точке $$x_0$$, то и сумма $$\varphi(x)$$ не может иметь производной в этой точке.