Упр.217 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 217. Докажите, что если f(x_0)=g(x_0) и f'(x) > g'(x) при x > x_0, то f(x) > g(x) при x > x_0.

Рассмотрим разность функций:

$$h(x)=f(x)-g(x).$$

Тогда

$$h'(x)=f'(x)-g'(x).$$

По условию при $$x>x_0$$ имеем $$f'(x)>g'(x)$$, значит

$$h'(x)>0 \quad \text{при } x>x_0.$$

Следовательно, функция $$h(x)$$ возрастает на промежутке $$x>x_0$$. Так как

$$h(x_0)=f(x_0)-g(x_0)=0,$$

то для всех $$x>x_0$$ получаем

$$h(x)>h(x_0)=0.$$

Значит,

$$f(x)-g(x)>0,$$

то есть

$$f(x)>g(x) \quad \text{при } x>x_0.$$

Ответ

$$f(x)>g(x) \text{ при } x>x_0.$$