Упр.215 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 215. Найдите производную функции: а) y=x^x; б) y=(sin(x))^cos(x).

а) $$y=x^x$$

Представим функцию в показательной форме:

$$y=e^{x\ln x}$$

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

$$y’=e^{x\ln x}\cdot (x\ln x)’$$

$$ (x\ln x)’=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1 $$

Следовательно,

$$y’=x^x(\ln x+1)$$

б) $$y=(\sin x)^{\cos x}$$

Прологарифмируем функцию:

$$\ln y=\cos x\cdot \ln(\sin x)$$

Дифференцируем обе части:

$$\frac{1}{y}y’=(\cos x)’\ln(\sin x)+\cos x\cdot (\ln(\sin x))’$$

$$\frac{1}{y}y’=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$$

$$\frac{1}{y}y’=-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}$$

Умножим на $$y=(\sin x)^{\cos x}$$:

$$y’=(\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}\right)$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=(\sin x)^{\cos x}\cdot \frac{\cos^2 x-\sin^2 x\ln(\sin x)}{\sin x}$$

Ответ

$$a)\; y’=x^x(\ln x+1); \qquad b)\; y’=(\sin x)^{\cos x}\cdot \frac{\cos^2 x-\sin^2 x\ln(\sin x)}{\sin x}.$$