Упр.211 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 211. Двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Если половину задания будет выполнять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий?

Обозначим через $$x$$ и $$y$$ число дней, за которое каждый рабочий может выполнить всё задание один.

Тогда их совместная производительность равна $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$, а по условию она составляет $$\frac{1}{12}$$:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}.$$

Если первый рабочий выполнит половину задания за $$\frac{x}{2}$$ дня, а второй — вторую половину за $$\frac{y}{2}$$ дня, то на всё задание уйдёт 25 дней:

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25.$$

Отсюда

$$x+y=50,$$

значит, $$y=50-x$$.

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{50-x}=\frac{1}{12}.$$

Умножим на $$12x(50-x)$$:

$$12(50-x)+12x=x(50-x).$$

$$600-12x+12x=50x-x^2.$$

$$x^2-50x+600=0.$$

Найдём корни:

$$D=50^2-4\cdot 600=2500-2400=100.$$

$$x_{1,2}=\frac{50\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=20,\quad x_2=30.$$

Тогда второе число дней:

$$y_1=50-20=30,\quad y_2=50-30=20.$$

Следовательно, один рабочий выполняет задание за 20 дней, другой — за 30 дней.

Ответ

20 дней и 30 дней.