Упр.210 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 210. Докажите, что если функция f дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений x_1 и x_2 выполнено равенство f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2), то f'(x) постоянная.

Из условия при $$x_1=0$$ и $$x_2=0$$ получаем:

$$f(0+0)=f(0)+f(0),$$

то есть

$$f(0)=2f(0),$$

следовательно,

$$f(0)=0.$$

Теперь рассмотрим приращение функции в точке $$x$$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

По условию аддитивности

$$f(x+\Delta x)=f(x)+f(\Delta x),$$

поэтому

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)+f(\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}.$$

Но так как $$f(0)=0$$, то можно записать:

$$\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}=\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}.$$

Это выражение не зависит от $$x$$, значит производная в любой точке одинакова:

$$f'(x)=f'(0).$$

Следовательно, $$f'(x)$$ — постоянная.

Ответ

$$f'(x)$$ постоянна, то есть $$f'(x)=f'(0)$$ для всех $$x$$.