Упр.21 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v3+v5; б) v2+v3; в) 1/(v2+v3); г) v2+3^(1/3).

1. а) Пусть $$\sqrt{3}+\sqrt{5}=r$$. Тогда

   $$r^2=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}.$$

   Отсюда
   $$2\sqrt{15}=r^2-8,$$
   значит,
   $$\sqrt{15}=\frac{r^2-8}{2}.$$
   Следовательно, $$\sqrt{15}$$ выражается через рациональное число $$r$$, поэтому $$r$$ не может быть рациональным. Значит, $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ иррационально.

2. б) Пусть $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=r$$. Тогда

   $$r^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}.$$

   Отсюда
   $$2\sqrt{6}=r^2-5,$$
   значит,
   $$\sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}.$$
   Следовательно, $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ иррационально.

3. в) Используем формулу сопряжённого числа:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}.$$

   Пусть $$\sqrt{3}-\sqrt{2}=r$$. Тогда

   $$r^2=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}.$$

   Отсюда
   $$2\sqrt{6}=5-r^2,$$
   значит,
   $$\sqrt{6}=\frac{5-r^2}{2}.$$
   Следовательно, $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$ иррационально.

4. г) Пусть $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}=r$$. Тогда

   $$\sqrt[3]{3}=r-\sqrt{2}.$$
   Возведём в куб:
   $$3=(r-\sqrt{2})^3.$$

   $$3=r^3-3r^2\sqrt{2}+6r-2\sqrt{2}.$$

   Перенесём слагаемые с $$\sqrt{2}$$:
   $$\left(3r^2+2\right)\sqrt{2}=r^3+6r-3.$$

   Тогда
   $$\sqrt{2}=\frac{r^3+6r-3}{3r^2+2}.$$
   Если бы $$r$$ было рациональным, то правая часть была бы рациональным числом, а значит, рациональным было бы и $$\sqrt{2}$$ — противоречие. Следовательно, $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$$ иррационально.

Ответ

а) иррационально; б) иррационально; в) иррационально; г) иррационально.