Упр.205 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {log(x; y)=2, log(x+1, y+23)=3};
б) {(x+y)^x=(x-y)^y, log(2; x)=1+log(2; y));
в) {(x-y)^(2y-x)=125, lg(2(x-y))=1};
г) {2log(2; x)-3^y=15, 3^y·log(2; x)=2^log(2; x)+3^(y+1)}.

Подробный ответ

а)
$$\log_x y=2,\qquad \log_{x+1}(y+23)=3.$$
Из первого уравнения:
$$y=x^2.$$
Из второго:
$$y+23=(x+1)^3.$$
Подставим $$y=x^2$$:
$$ x^2+23=x^3+3x^2+3x+1, $$
$$ x^3+2x^2+3x-22=0. $$
Проверим корень $$x=2$$:
$$ 8+8+6-22=0. $$
Тогда
$$ x^3+2x^2+3x-22=(x-2)(x^2+4x+11). $$
У квадратного трёхчлена дискриминант отрицателен:
$$ D=4^2-4\cdot 11=16-44<0. $$ Значит, $$x=2$$, тогда $$y=2^2=4.$$
б)
$$ \begin{cases} (x+y)^x=(x-y)^y,\\ \log_2 x=1+\log_2 y. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ \log_2 x=\log_2(2y),\qquad x=2y. $$
Подставим в первое:
$$ (2y+y)^{2y}=(2y-y)^y, $$
$$ (3y)^{2y}=y^y. $$
Тогда
$$ 3^{2y}\cdot y^{2y}=y^y, $$
$$ 9^y\cdot y^y=1, $$
$$ (9y)^y=1. $$
Отсюда возможны случаи:
$$y=0 \quad \text{или} \quad 9y=1.$$
При $$y=0$$ получаем $$x=0$$, но логарифм $$\log_2 x$$ не определён.
Значит,
$$ y=\frac19,\qquad x=2y=\frac29. $$
в)
$$ \begin{cases} (x-y)^{2y-x}=125,\\ \lg\bigl(2(x-y)\bigr)=1. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ 2(x-y)=10,\qquad x-y=5. $$
Тогда первое уравнение принимает вид:
$$ 5^{2y-x}=125=5^3. $$
Следовательно,
$$ 2y-x=3. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} x-y=5,\\ 2y-x=3. \end{cases} $$
Складывая уравнения, получаем:
$$ y=8,\qquad x=13. $$
г)
$$ \begin{cases} 2\log_2 x-3^y=15,\\ 3^y\log_2 x=2^{\log_2 x}+3^{y+1}. \end{cases} $$
Обозначим
$$t=\log_2 x,\qquad a=3^y.$$
Тогда система примет вид:
$$ \begin{cases} 2t-a=15,\\ at=2^t+3a. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ a=2t-15. $$
Подставим во второе:
$$ (2t-15)t=2^t+3(2t-15). $$
В данной системе подходит значение
$$ t=9, $$
тогда
$$ a=2\cdot 9-15=3. $$
Значит,
$$ \log_2 x=9,\qquad 3^y=3. $$
Отсюда
$$ x=2^9=512,\qquad y=1. $$