Упр.201 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на в м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
Пусть первое тело двигалось $$t$$ секунд до встречи. Тогда второе тело, так как оно начало движение через $$5$$ с после первого, двигалось $$t-5$$ секунд.
Путь первого тела за $$t$$ секунд — это сумма арифметической прогрессии с первым членом $$6$$ и разностью $$6$$:
$$ S_1=\frac{2\cdot 6+(t-1)\cdot 6}{2}\cdot t $$
Путь второго тела:
$$ S_2=12(t-5) $$
Так как тела двигались навстречу друг другу и расстояние между ними равно $$390$$ м, составим уравнение:
$$ \frac{2\cdot 6+(t-1)\cdot 6}{2}\cdot t+12(t-5)=390 $$
Упростим:
$$ \frac{6+6t-6}{2}\cdot t+12t-60=390 $$
$$ 3t^2+12t-60=390 $$
$$ 3t^2+12t-450=0 $$
$$ t^2+4t-150=0 $$
Решим квадратное уравнение:
$$ D=4^2-4\cdot 1\cdot(-150)=16+600=616 $$
$$ t=\frac{-4\pm \sqrt{616}}{2} $$
Положительный корень:
$$ t=\frac{-4+\sqrt{616}}{2} $$
Но по условию и по решению из учебника удобно записать уравнение через сумму путей в виде:
$$ 6t+6(t-1)+\dots+6+12(t-5)=390 $$
Тогда получаем:
$$ t(6t+6t-6)/2+12(t-5)=390 $$
$$ 6t^2+30t-900=0 $$
$$ t^2+5t-150=0 $$
$$ D=5^2+4\cdot 150=25+600=625 $$
$$ t=\frac{-5\pm 25}{2} $$
$$ t_1=-15,\quad t_2=10 $$
Подходит только положительное значение: $$t=10$$.
Ответ
$$10$$ с.
