Упр.200 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 200. При каких значениях a уравнение x ln|x|=a имеет один корень?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x\ln|x|,\qquad x\ne 0.$$

Она нечётная, так как

$$f(-x)=-x\ln|-x|=-x\ln|x|=-f(x).$$

Найдём поведение функции при $$x>0$$:

$$f(x)=x\ln x,$$

$$f'(x)=\ln x+1.$$

Критическая точка:

$$\ln x+1=0 \;\Rightarrow\; x=\frac1e.$$

При этом

$$f\!\left(\frac1e\right)=\frac1e\ln\frac1e=-\frac1e.$$

Значит, на промежутке $$x>0$$ функция убывает до значения $$-\frac1e$$, а затем возрастает. По нечётности на $$x<0$$ она имеет симметричный максимум $$\frac1e$$.

Следовательно, уравнение $$x\ln|x|=a$$ имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ касается графика функции в её экстремуме, то есть при

$$a=\pm \frac1e.$$

Ответ

$$a=\pm \frac1e.$$