Упр.2 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Преобразуйте выражение:
а) 8^(1/4)·4^(1/8); б) 125^(1/6)/320^(1/3);
в) ((27/8)^(1/6))^2; г) v((a^4 b^2)/c^8).
3) Какое из чисел больше:
а) 128^(1/7) или 4^(1/5); б) 2^100 или 100^20;
в) 26^(1/8) или 5^(1/4); г) 5^(1/5) или 3^(1/3)?

1. Основные свойства арифметических корней:

   $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$
   $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\quad b\ne 0$$
   $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$$
   $$\sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^k,\quad k>0$$
   $$\sqrt[n]{a^n}=a,\quad a\ge 0$$

2. Преобразуем выражения:

   а) $$8^{1/4}\cdot 4^{1/8}=\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[8]{4}=\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{16}=2;$$

   б) $$\frac{125^{1/6}}{320^{1/3}}=\frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{\sqrt[3]{2^6\cdot 5}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{4\sqrt[6]{5^2}}=\frac{\sqrt[6]{5}}{4};$$

   в) $$\left(\left(\frac{27}{8}\right)^{1/6}\right)^2=\left(\sqrt[6]{\frac{27}{8}}\right)^2=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}}=\frac{3}{2};$$

   г) $$\sqrt{\frac{a^4b^2}{c^8}}=\sqrt{\frac{a^{2\cdot 2}\cdot b^2}{c^{2\cdot 4}}}=\frac{a^2|b|}{c^4}. $$

3. Сравним числа:

   а) $$128^{1/7}=\sqrt[7]{128}=\sqrt[7]{2^7}=2,$$
   $$4^{1/5}=\sqrt[5]{4}=\sqrt[5]{2^2}<2,$$ значит, больше $$128^{1/7}.$$

   б) $$2^{100}=(2^{10})^{10}=1024^{10},$$
   $$100^{20}=(100^2)^{10}=10000^{10},$$
   а так как $$1024<10000,$$ то больше $$100^{20}.$$

   в) $$26^{1/8}=\sqrt[8]{26},\qquad 5^{1/4}=\sqrt[8]{5^2}=\sqrt[8]{25},$$
   а так как $$26>25,$$ то больше $$26^{1/8}.$$

   г) $$5^{1/5}=\sqrt[15]{5^3}=\sqrt[15]{125},$$
   $$3^{1/3}=\sqrt[15]{3^5}=\sqrt[15]{243},$$
   а так как $$125<243,$$ то больше $$3^{1/3}.$$

Ответ

1) $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a},\ \sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^k,\ \sqrt[n]{a^n}=a.$$
2) а) $$2$$; б) $$\frac{\sqrt[6]{5}}{4}$$; в) $$\frac{3}{2}$$; г) $$\frac{a^2|b|}{c^4}$$.
3) а) $$128^{1/7}$$; б) $$100^{20}$$; в) $$26^{1/8}$$; г) $$3^{1/3}$$.