Упр.2 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке х_0:
а) f(x)=x^2+1, x_0=-2; б) f(x)=2/x, x_0=3;
в) f(x)=2x-1, x_0=-4; г) f(x)=x^3, x_0=2.

1) Производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$ называется число, к которому стремится разностное отношение при $$\Delta x \to 0$$:

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

2) Найдём производные в указанных точках по определению.

1. $$f(x)=x^2+1,\quad x_0=-2.$$

   $$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^2+1-(x_0^2+1)}{\Delta x} =\frac{2x_0\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x} =2x_0+\Delta x. $$

   При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$f'(x_0)=2x_0=-4.$$

2. $$f(x)=\frac{2}{x},\quad x_0=3.$$

   $$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{\frac{2}{x_0+\Delta x}-\frac{2}{x_0}}{\Delta x} =\frac{-2\Delta x}{x_0\Delta x(x_0+\Delta x)} =-\frac{2}{x_0(x_0+\Delta x)}. $$

   При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$f'(x_0)=-\frac{2}{x_0^2}=-\frac{2}{9}.$$

3. $$f(x)=2x-1,\quad x_0=-4.$$

   $$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{2(x_0+\Delta x)-1-(2x_0-1)}{\Delta x} =\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2. $$

   Значит, $$f'(x_0)=2.$$

4. $$f(x)=x^3,\quad x_0=2.$$

   $$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^3-x_0^3}{\Delta x} =\frac{3x_0^2\Delta x+3x_0\Delta x^2+\Delta x^3}{\Delta x} =3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2. $$

   При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$f'(x_0)=3x_0^2=12.$$

Ответ

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

а) $$-4$$; б) $$-\frac{2}{9}$$; в) $$2$$; г) $$12$$.