Упр.198 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 198. При каких значениях а уравнение 2log^2(3; x)-|log(3; x)|+a=0 имеет четыре решения?

Подробный ответ

Обозначим $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$x>0,$$ а уравнение принимает вид

$$2t^2-|t|+a=0.$$

Рассмотрим его как уравнение относительно $$|t|.$$ Положим $$u=|t|\ge 0.$$ Тогда

$$2u^2-u+a=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело четыре решения по $$x,$$ уравнение относительно $$u$$ должно иметь два различных положительных корня $$u_1$$ и $$u_2,$$ потому что каждому положительному значению $$u$$ соответствуют два значения $$t=\pm u,$$ а значит, два значения $$x$$.

Для этого нужно:

1) дискриминант был положительным:

$$D=1-8a>0,$$

откуда

$$a<\frac18;$$

2) оба корня были положительными. Так как сумма корней равна

$$u_1+u_2=\frac{1}{2}>0,$$

а произведение

$$u_1u_2=\frac{a}{2},$$

то для положительности обоих корней нужно

$$a>0.$$

Следовательно,