Упр.196 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {log(4; x)-log(2; y)=0, x^2-2y^2=8};
б) {3^(2vx-vy)=81, lg(v(xy))=1+lg(3)};
в) {log(9; x)-log(3; y)=0, x^2-5y^2+4=0};
г) {2log(2; x)-3^y=15, 3^ylog(2; x)=2log(2; x)+3^(y+1)}.

1. а)

   Из первого уравнения:
   $$\log_4 x-\log_2 y=0.$$
   Так как $$\log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x,$$ получаем
   $$ \frac{1}{2}\log_2 x=\log_2 y \;\Rightarrow\; \log_2 x=2\log_2 y=\log_2 y^2, $$
   значит,
   $$x=y^2.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ x^2-2y^2=8 \;\Rightarrow\; y^4-2y^2-8=0. $$
   Обозначим $$t=y^2$$, тогда
   $$ t^2-2t-8=0,\quad (t-4)(t+2)=0. $$
   С учётом $$t=y^2\ge 0$$ получаем $$t=4$$, значит $$y=2$$, $$x=4$$.

2. б)

   Из первого уравнения:
   $$ 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=81=3^4, $$
   поэтому
   $$ 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4. $$
   Из второго уравнения:
   $$ \lg\sqrt{xy}=1+\lg 3=\lg 10+\lg 3=\lg 30, $$
   значит
   $$ \sqrt{xy}=30,\quad xy=900. $$
   Обозначим $$a=\sqrt{x},\; b=\sqrt{y}$$. Тогда
   $$ 2a-b=4,\qquad a^2b^2=900 \Rightarrow ab=30. $$
   Из первого уравнения $$b=2a-4$$, подставим во второе:
   $$ a(2a-4)=30, $$
   $$ 2a^2-4a-30=0, $$
   $$ a^2-2a-15=0, $$
   $$ (a-5)(a+3)=0. $$
   Так как $$a=\sqrt{x}\ge 0$$, то $$a=5$$. Тогда
   $$ x=25,\qquad b=6,\qquad y=36. $$

3. в)

   Из первого уравнения:
   $$ \log_9 x-\log_3 y=0. $$
   Так как $$\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,$$ то
   $$ \frac{1}{2}\log_3 x=\log_3 y \;\Rightarrow\; \log_3 x=2\log_3 y=\log_3 y^2, $$
   значит
   $$x=y^2.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ x^2-5y^2+4=0 \;\Rightarrow\; y^4-5y^2+4=0. $$
   Обозначим $$t=y^2$$:
   $$ t^2-5t+4=0,\quad (t-1)(t-4)=0. $$
   Тогда $$t=1$$ или $$t=4$$, то есть
   $$ y=1,\; x=1 \quad \text{или} \quad y=2,\; x=4. $$

4. г)

   Обозначим $$a=\log_2 x$$, $$b=3^y$$. Тогда система принимает вид
   $$ \begin{cases} 2a-b=15,\\ ba=2a+3b. \end{cases} $$
   Из первого уравнения
   $$ a=\frac{b+15}{2}. $$
   Подставим во второе:
   $$ b\cdot \frac{b+15}{2}=2\cdot \frac{b+15}{2}+3b, $$
   $$ b(b+15)=2(b+15)+6b, $$
   $$ b^2+15b=8b+30, $$
   $$ b^2+7b-30=0, $$
   $$ (b-3)(b+10)=0. $$
   Так как $$b=3^y>0$$, то $$b=3$$. Тогда
   $$ 3^y=3 \Rightarrow y=1, $$
   а
   $$ a=\frac{3+15}{2}=9,\qquad \log_2 x=9 \Rightarrow x=512. $$

Ответ

а) $$\left(4;\,2\right)$$;
б) $$\left(25;\,36\right)$$;
в) $$\left(1;\,1\right),\ \left(4;\,2\right)$$;
г) $$\left(512;\,1\right)$$.