Упр.195 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(1+log(2; x))+v(4log(4; x)-2)=4;
б) log(6; 2^(x+3))-log(6; |3^x-3|)=x;
в) log(1/3; 3+|sin(x)|)=2^|x|-2;
г) (1+lg(tg(x)))^(1/3)+(1-lg(tg(x)))^(1/3)=2.

1. а) Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда $$\log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x=\frac{y}{2}$$, и уравнение принимает вид

   $$\sqrt{1+y}+\sqrt{2y-2}=4.$$

   Возведём в квадрат:

   $$1+y+2\sqrt{(1+y)(2y-2)}+2y-2=16,$$

   $$2\sqrt{2(y+1)(y-1)}=17-3y.$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$8(y^2-1)=(17-3y)^2,$$

   $$8y^2-8=289-102y+9y^2,$$

   $$y^2-102y+297=0.$$

   $$D=102^2-4\cdot297=9216,$$

   $$y_1=\frac{102-96}{2}=3,\qquad y_2=\frac{102+96}{2}=99.$$

   С учётом области допустимых значений $$y\ge 1$$ и $$17-3y\ge 0$$ получаем $$y=3$$.

   Тогда $$\log_2 x=3,$$ значит

   $$x=2^3=8.$$

2. б) Используем свойства логарифмов:

   $$\log_6 2^{x+3}-\log_6 |3^x-3|=x,$$

   $$\log_6 \frac{2^{x+3}}{|3^x-3|}=x,$$

   $$\frac{2^{x+3}}{|3^x-3|}=6^x.$$

   Так как $$2^{x+3}=8\cdot 2^x$$ и $$6^x=2^x\cdot 3^x,$$ то

   $$\frac{8}{|3^x-3|}=3^x,$$

   $$8=3^x|3^x-3|.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x>1,$$ то $$3^x-3>0,$$ и

   $$8=3^x(3^x-3),$$

   $$3^{2x}-3\cdot 3^x-8=0.$$

   Положим $$t=3^x>0$$. Тогда

   $$t^2-3t-8=0,$$

   $$t=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}.$$

   Подходит только положительный корень:

   $$3^x=\frac{3+\sqrt{41}}{2},\qquad x=\log_3\frac{3+\sqrt{41}}{2}.$$

   Если $$x<1,$$ то $$3^x-3<0,$$ и

   $$8=3^x(3-3^x),$$

   $$3^{2x}-3\cdot 3^x+8=0.$$

   Для $$t=3^x$$ получаем

   $$t^2-3t+8=0,$$

   $$D=9-32=-23<0,$$

   значит, решений в этом случае нет.

3. в) Так как $$|\sin x|\ge 0,$$ то $$3+|\sin x|\ge 3,$$ а при основании $$\frac13<1$$ имеем

   $$\log_{\frac13}(3+|\sin x|)\le \log_{\frac13}3=-1.$$

   Правая часть уравнения равна $$2^{|x|}-2\ge -1,$$ причём равенство $$-1$$ достигается только при $$x=0$$.

   Проверим $$x=0$$:

   $$\log_{\frac13}(3+|\sin 0|)=\log_{\frac13}3=-1,$$

   $$2^{|0|}-2=1-2=-1.$$

   Следовательно, $$x=0$$ — решение.

4. г) Пусть $$y=\lg(\tg x)$$. Тогда уравнение имеет вид

   $$\sqrt[3]{1+y}+\sqrt[3]{1-y}=2.$$

   Обозначим $$a=\sqrt[3]{1+y},\ b=\sqrt[3]{1-y}$$. Тогда $$a+b=2$$ и

   $$a^3+b^3=2.$$

   Используем формулу

   $$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).$$

   Получаем

   $$2=8-6ab,$$

   $$ab=1.$$

   Значит,

   $$\sqrt[3]{(1+y)(1-y)}=1,$$

   $$\sqrt[3]{1-y^2}=1,$$

   $$1-y^2=1,$$

   $$y=0.$$

   Тогда

   $$\lg(\tg x)=0,$$

   $$\tg x=1,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$\log_3\frac{3+\sqrt{41}}{2}$$; в) $$0$$; г) $$\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$