Упр.195 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {y-log(3; x)=1, x^y=3^12)};
б) {3^(1+log(3; x^2+y^2))=15, log(3; x^2-y^2)-log(3; x-y))=0};
в) {log(5; x)+3^log(3; y)=7, x^y=5^12};
г) {5^(1+log(5; x^2-y^2)=25, log(5; x^2-y^2)=log(5; x+y)}.

1. а)

   $$y-\log_3 x=1,$$
   $$x^y=3^{12}.$$

   Из первого уравнения:

   $$y=\log_3 x+1.$$

   Подставим во второе:

   $$ x^{\log_3 x+1}=3^{12}. $$

   Пусть $$z=\log_3 x$$, тогда $$x=3^z$$ и

   $$ (3^z)^{z+1}=3^{12}, $$
   $$ z(z+1)=12, $$
   $$ z^2+z-12=0. $$

   $$ (z+4)(z-3)=0, $$
   $$z_1=-4,\quad z_2=3.$$

   Тогда

   $$ x_1=3^{-4}=\frac{1}{81},\quad y_1=-4+1=-3; $$
   $$ x_2=3^3=27,\quad y_2=3+1=4. $$

2. б)

   $$ \begin{cases} 3^{1+\log_3(x^2+y^2)}=15,\\ \log_3(x^2-y^2)-\log_3(x-y)=0. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ \log_3(x^2-y^2)=\log_3(x-y), $$
   $$ x^2-y^2=x-y. $$

   Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$, получаем

   $$ (x-y)(x+y)=x-y, $$
   $$ (x-y)(x+y-1)=0. $$

   С учётом области определения $$x-y>0$$, значит $$x-y\neq 0$$, поэтому

   $$x+y=1.$$

   Из первого уравнения:

   $$ 3\cdot 3^{\log_3(x^2+y^2)}=15, $$
   $$ 3(x^2+y^2)=15, $$
   $$ x^2+y^2=5. $$

   Решаем систему

   $$ \begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=5. \end{cases} $$

   $$ y=1-x, $$
   $$ x^2+(1-x)^2=5, $$
   $$ 2x^2-2x-4=0, $$
   $$ x^2-x-2=0, $$
   $$ (x-2)(x+1)=0. $$

   $$ x=2 \text{ или } x=-1. $$

   Тогда

   $$ (x,y)=(2,-1),\;(-1,2). $$

3. в)

   $$ \begin{cases} \log_5 x+3^{\log_3 y}=7,\\ x^y=5^{12}. \end{cases} $$

   Так как $$3^{\log_3 y}=y$$, первое уравнение принимает вид

   $$ \log_5 x+y=7, $$
   $$ y=7-\log_5 x. $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ x^{7-\log_5 x}=5^{12}. $$

   Пусть $$z=\log_5 x$$, тогда $$x=5^z$$ и

   $$ (5^z)^{7-z}=5^{12}, $$
   $$ z(7-z)=12, $$
   $$ z^2-7z+12=0. $$

   $$ (z-3)(z-4)=0, $$
   $$z_1=3,\quad z_2=4.$$

   Тогда

   $$ x_1=5^3=125,\quad y_1=7-3=4; $$
   $$ x_2=5^4=625,\quad y_2=7-4=3. $$

4. г)

   $$ \begin{cases} 5^{1+\log_5(x^2-y^2)}=25,\\ \log_5(x^2-y^2)=\log_5(x+y). \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ x^2-y^2=x+y. $$

   Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$, получаем

   $$ (x-y)(x+y)=x+y, $$
   $$ (x+y)(x-y-1)=0. $$

   С учётом области определения $$x^2-y^2>0$$ и $$x+y>0$$, поэтому $$x+y\neq 0$$. Значит,

   $$x-y=1,$$

   то есть

   $$y=x-1.$$

   Из первого уравнения:

   $$ 5\cdot 5^{\log_5(x^2-y^2)}=25, $$
   $$ 5(x^2-y^2)=25, $$
   $$ x^2-y^2=5. $$

   Подставим $$y=x-1$$:

   $$ x^2-(x-1)^2=5, $$
   $$ x^2-(x^2-2x+1)=5, $$
   $$ 2x-1=5, $$
   $$ x=3,\quad y=2. $$

Ответ

а) $$\left(\frac{1}{81};-3\right),\ (27;4)$$;
б) $$(2;-1),\ (-1;2)$$;
в) $$(125;4),\ (625;3)$$;
г) $$(3;2)$$.