Упр.194 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {3^(2x)+4^(2y)=82, 3^x-4^y=8};
б) {(2^(x+1)-3)·2^(y-1)=1, v(3x+y^2)=x+y};
в) {2^cos(x)+2^(1/cos(y))=5, 2^(cos(x)+1/cos(y))=4};
г) {9^(2tg(x)+cos(y))=3, 9^cos(y)-81^tg(x)=2}.

1. а)

   Обозначим $$3^x=a,\quad 4^y=b.$$ Тогда система принимает вид
   $$\begin{cases} a^2+b^2=82,\\ a-b=8. \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$a=b+8$$. Подставим в первое:
   $$ (b+8)^2+b^2=82, $$
   $$ 2b^2+16b+64=82, $$
   $$ b^2+8b-9=0. $$
   Тогда
   $$ D=8^2+4\cdot 9=100, $$
   $$ b_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{2}. $$
   Получаем $$b_1=-9$$ и $$b_2=1$$. Так как $$b=4^y>0,$$ то $$b=1,$$ значит
   $$4^y=1,\quad y=0.$$
   Тогда
   $$3^x=8+1=9,\quad x=2.$$

   Ответ: $$(2;0).$$

2. б)

   Рассмотрим второе уравнение:
   $$ \sqrt{3x+y^2}=x+y. $$
   Возведём в квадрат:
   $$ 3x+y^2=x^2+2xy+y^2, $$
   $$ x^2+2xy-3x=0, $$
   $$ x(x+2y-3)=0. $$
   Значит, либо $$x=0,$$ либо $$x=3-2y.$$

   1) Если $$x=0,$$ то из первого уравнения:
   $$ (2^{0+1}-3)\cdot 2^{y-1}=1, $$
   $$ (-1)\cdot 2^{y-1}=1, $$
   что невозможно. Этот случай не подходит.

   2) Если $$x=3-2y,$$ то
   $$ 2^{x+1}=2^{4-2y}. $$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ (2^{4-2y}-3)\cdot 2^{y-1}=1, $$
   $$ 2^{3-y}-3\cdot 2^{y-1}=1. $$
   Умножим на $$2^y$$:
   $$ 8-\frac{3}{2}2^{2y}=2^y. $$
   Обозначим $$t=2^y>0.$$ Тогда
   $$ 8-\frac{3}{2}t^2=t, $$
   $$ 3t^2+2t-16=0. $$
   $$ D=2^2+4\cdot 3\cdot 16=196, $$
   $$ t=\frac{-2\pm 14}{6}. $$
   Положительное значение:
   $$ t=2. $$
   Значит,
   $$ 2^y=2,\quad y=1, $$
   $$ x=3-2\cdot 1=1. $$

   Ответ: $$(1;1).$$

3. в)

   Обозначим
   $$ a=2^{\cos x},\quad b=2^{\frac{1}{\cos y}}. $$
   Тогда
   $$ \begin{cases} a+b=5,\\ ab=4. \end{cases} $$
   Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
   $$ t^2-5t+4=0, $$
   откуда
   $$ t_1=1,\quad t_2=4. $$
   Значит, возможны два случая:

   1) $$2^{\cos x}=1,\quad 2^{\frac{1}{\cos y}}=4.$$
   Тогда
   $$ \cos x=0,\qquad \frac{1}{\cos y}=2,\qquad \cos y=\frac12. $$
   Отсюда
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad k,n\in\mathbb Z. $$

   2) $$2^{\cos x}=4,\quad 2^{\frac{1}{\cos y}}=1.$$
   Тогда
   $$ \cos x=2, $$
   что невозможно.

   Ответ: $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$

4. г)

   Обозначим
   $$ a=9^{\tg x},\quad b=9^{\cos y}. $$
   Тогда система имеет вид
   $$ \begin{cases} ab=3,\\ b-a=2. \end{cases} $$
   Из второго уравнения $$b=a+2$$. Подставим в первое:
   $$ a(a+2)=3, $$
   $$ a^2+2a-3=0. $$
   $$ D=2^2+4\cdot 3=16, $$
   $$ a_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}. $$
   Получаем $$a_1=-3$$ и $$a_2=1.$$ Так как $$a=9^{\tg x}>0,$$ то $$a=1.$$ Тогда
   $$ 9^{\tg x}=1,\quad \tg x=0, $$
   $$ 9^{\cos y}=3,\quad \cos y=\frac12. $$
   Следовательно,
   $$ x=\pi n,\qquad y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

   Ответ: $$(\pi n;\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k),\quad n,k\in\mathbb Z.$$