Упр.194 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {lg(x)-lg(y)=1, lg^2(x)+lg^2(y)=5};
б) {log(2; x^2+y^2)=5, 2log(4; x)+log(2; y)=4};
в) {lg(x)-lg(y)=7, lg(x)+lg(y)=5};
г) {log(2; (x+1))=log(2; y+1/4), log(2; x)-2log(2; y-1/2)=0}.

Подробный ответ

а)
Из первого уравнения:
$$\lg y=\lg x-1.$$
Подставим во второе:
$$\lg^2 x+(\lg x-1)^2=5.$$
Обозначим $$z=\lg x$$. Тогда
$$ z^2+(z-1)^2=5 \\ 2z^2-2z-4=0 \\ z^2-z-2=0 \\ (z+1)(z-2)=0. $$
Отсюда $$z=-1$$ или $$z=2$$.
Тогда
$$ x=10^{-1}=0{,}1,\quad y=10^{-2}=0{,}01; $$
$$ x=10^2=100,\quad y=10^1=10. $$
б)
Из второго уравнения:
$$ 2\log_4 x+\log_2 y=4. $$
Так как $$\log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x,$$ получаем
$$ \log_2 x+\log_2 y=4, $$
значит
$$ \log_2(xy)=4,\quad xy=16. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ \log_2(x^2+y^2)=5 \quad \Rightarrow \quad x^2+y^2=32. $$
Так как $$y=\frac{16}{x},$$ то
$$ x^2+\frac{256}{x^2}=32. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-32x^2+256=0. $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-32t+256=0 \\ (t-16)^2=0 \\ t=16. $$
Следовательно,
$$ x^2=16,\quad x=4 \; (\text{так как } x>0), $$
и
$$ y=\frac{16}{4}=4. $$
в)
Сложим уравнения:
$$ (\lg x-\lg y)+(\lg x+\lg y)=7+5, $$
$$ 2\lg x=12,\quad \lg x=6,\quad x=10^6. $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ (\lg x+\lg y)-(\lg x-\lg y)=5-7, $$
$$ 2\lg y=-2,\quad \lg y=-1,\quad y=10^{-1}=0{,}1. $$
г)
Из первого уравнения:
$$ \log_2(x+1)=\log_2\left(y+\frac14\right) \Rightarrow x+1=y+\frac14, $$
значит
$$ y=x+\frac34. $$
Второе уравнение:
$$ \log_2 x-2\log_2\left(y-\frac12\right)=0. $$
Тогда
$$ \log_2 x=\log_2\left(y-\frac12\right)^2, $$
откуда
$$ x=\left(y-\frac12\right)^2. $$
Подставим $$y=x+\frac34$$:
$$ x=\left(x+\frac34-\frac12\right)^2=\left(x+\frac14\right)^2. $$
Получаем
$$ x=x^2+\frac12x+\frac1{16} $$
$$ x^2-\frac12x+\frac1{16}=0 $$
$$ 16x^2-8x+1=0 $$
$$ (4x-1)^2=0,\quad x=\frac14. $$
Тогда
$$ y=\frac14+\frac34=1. $$