Упр.194 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=x^2-3x$$

   Найдём производную по определению:
   $$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^2-3(x+\Delta x)-(x^2-3x)$$
   $$=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-3x-3\Delta x-x^2+3x$$
   $$=2x\Delta x+(\Delta x)^2-3\Delta x=\Delta x(2x+\Delta x-3)$$
   Тогда
   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x+\Delta x-3$$
   При $$\Delta x\to 0$$ получаем
   $$f'(x)=2x-3$$
   Следовательно,
   $$f'(-1)=2\cdot(-1)-3=-5,$$
   $$f'(2)=2\cdot 2-3=1.$$

2. б) $$f(x)=2x^3$$

   По определению:
   $$\Delta f=2(x+\Delta x)^3-2x^3$$
   $$=2\bigl(x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3\bigr)$$
   $$=6x^2\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3$$
   Тогда
   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=6x^2+6x\Delta x+2(\Delta x)^2$$
   При $$\Delta x\to 0$$:
   $$f'(x)=6x^2$$
   Значит,
   $$f'(0)=6\cdot 0^2=0,$$
   $$f'(1)=6\cdot 1^2=6.$$

3. в) $$f(x)=\frac{1}{x}$$

   Найдём производную:
   $$\Delta f=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=-\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$
   Тогда
   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$$
   При $$\Delta x\to 0$$:
   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$
   Следовательно,
   $$f'(-2)=-\frac{1}{(-2)^2}=-\frac14,$$
   $$f'(1)=-\frac{1}{1^2}=-1.$$

4. г) $$f(x)=4-x^2$$

   По определению:
   $$\Delta f=4-(x+\Delta x)^2-(4-x^2)$$
   $$=4-x^2-2x\Delta x-(\Delta x)^2-4+x^2$$
   $$=-2x\Delta x-(\Delta x)^2$$
   Тогда
   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=-2x-\Delta x$$
   При $$\Delta x\to 0$$:
   $$f'(x)=-2x$$
   Значит,
   $$f'(3)=-2\cdot 3=-6,$$
   $$f'(0)=-2\cdot 0=0.$$

Ответ

а) $$f'(-1)=-5,\ f'(2)=1$$;
б) $$f'(0)=0,\ f'(1)=6$$;
в) $$f'(-2)=-\frac14,\ f'(1)=-1$$;
г) $$f'(3)=-6,\ f'(0)=0$$.