Упр.192 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {4^log(4, 2x)-y=-1, 5^(2x-y)+5^x=5,2};
б) {2^x+3^y=17, 2^(x+2)-3^(y+1)=5};
в) {3^log(3; y+x)=2, 2^(2x+y)=16};
г) {log(v2; y-x}=4, 3^x+2·3^(y-2)=171}.

1. а)

   $$4^{\log_4(2x)}-y=-1,$$
   $$5^{2x-y}+5^x=5{,}2.$$

   Из первого уравнения:

   $$4^{\log_4(2x)}=2x,$$
   $$2x-y=-1,$$
   $$y=2x+1,$$
   $$x>0.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$5^{2x-(2x+1)}+5^x=5{,}2,$$
   $$5^{-1}+5^x=5{,}2,$$
   $$\frac{1}{5}+5^x=5{,}2,$$
   $$5^x=5,$$
   $$x=1.$$

   Тогда

   $$y=2\cdot 1+1=3.$$

2. б)

   $$2^x+3^y=17,$$
   $$2^{x+2}-3^{y+1}=5.$$

   Из первого уравнения:

   $$3^y=17-2^x.$$

   Во втором уравнении преобразуем степени:

   $$4\cdot 2^x-3\cdot 3^y=5.$$

   Подставим выражение для $$3^y$$:

   $$4\cdot 2^x-3(17-2^x)=5,$$
   $$4\cdot 2^x-51+3\cdot 2^x=5,$$
   $$7\cdot 2^x=56,$$
   $$2^x=8,$$
   $$x=3.$$

   Тогда

   $$3^y=17-2^3=17-8=9,$$
   $$y=2.$$

3. в)

   $$3^{\log_3(y+x)}=2,$$
   $$2^{2x+y}=16.$$

   Из первого уравнения:

   $$y+x=2.$$

   Из второго уравнения:

   $$2x+y=4.$$

   Решим систему:

   $$\begin{cases} x+y=2,\\ 2x+y=4. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$x=2,$$
   $$y=0.$$

4. г)

   $$\log_{\sqrt{2}}(y-x)=4,$$
   $$3^x+2\cdot 3^{y-2}=171.$$

   Из первого уравнения:

   $$y-x=(\sqrt{2})^4=4,$$
   $$y=x+4.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$3^x+2\cdot 3^{x+4-2}=171,$$
   $$3^x+2\cdot 3^{x+2}=171,$$
   $$3^x+2\cdot 9\cdot 3^x=171,$$
   $$19\cdot 3^x=171,$$
   $$3^x=9,$$
   $$x=2.$$

   Тогда

   $$y=2+4=6.$$

Ответ

а) $$ (1; 3) $$; б) $$ (3; 2) $$; в) $$ (2; 0) $$; г) $$ (2; 6) $$.