Упр.191 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {9^(x+y)=729, 36(x-y-1)=1}; б) {2^x-2^y=16, x+y=9};
в) {(v5)^(x-y)=25, 2^(6y-x-1)=1}; г) {3^x+3^y=28, x-y=3}.

Подробный ответ

а)
$$9^{x+y}=729,\quad 3^{x-y-1}=1$$
Так как $$729=9^3,$$ то
$$x+y=3.$$
А из $$3^{x-y-1}=1$$ получаем
$$x-y-1=0,$$
значит
$$x-y=1.$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$2x=4,\quad x=2.$$
Тогда
$$y=3-2=1.$$
$$\boxed{(2;\,1)}$$
б)
$$ \begin{cases} 2^x-2^y=16,\\ x+y=9. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=9-x.$$
Подставим в первое:
$$ 2^x-2^{9-x}=16. $$
Обозначим $$t=2^x,$$ тогда
$$2^{9-x}=\frac{512}{2^x}=\frac{512}{t}.$$
Получаем:
$$ t-\frac{512}{t}=16. $$
Умножим на $$t$$:
$$ t^2-16t-512=0. $$
Найдём корни:
$$ D=16^2+4\cdot512=2304,\quad \sqrt D=48. $$
Тогда
$$ t=\frac{16\pm48}{2}. $$
Отсюда
$$t_1=32,\quad t_2=-16.$$
Так как $$t=2^x>0,$$ подходит только $$t=32.$$
Значит,
$$2^x=32,\quad x=5,$$
и
$$y=9-5=4.$$
$$\boxed{(5;\,4)}$$
в)
$$ \begin{cases} (\sqrt5)^{x-y}=25,\\ 2^{6y-x-1}=1. \end{cases} $$
Так как $$25=(\sqrt5)^4,$$ то
$$x-y=4.$$
Из второго уравнения:
$$6y-x-1=0,$$
значит
$$x=6y-1.$$
Подставим в первое:
$$ (6y-1)-y=4, $$
$$ 5y=5,\quad y=1. $$
Тогда
$$x=6\cdot1-1=5.$$
$$\boxed{(5;\,1)}$$
г)
$$ \begin{cases} 3^x+3^y=28,\\ x-y=3. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=x-3.$$
Подставим в первое:
$$ 3^x+3^{x-3}=28. $$
Вынесем $$3^{x-3}$$ за скобки:
$$ 3^{x-3}(3^3+1)=28, $$
$$ 3^{x-3}\cdot28=28. $$
Следовательно,
$$3^{x-3}=1,$$
значит
$$x-3=0,\quad x=3.$$
Тогда
$$y=3-3=0.$$
$$\boxed{(3;\,0)}$$