Упр.19 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа:
а) cos(0,3), cos(-2,9), cos(1,8); б) cos(5,3), cos(4,4), cos(6,2);
в) cos(0,5), cos(-1,3), cos(3); г) cos(6,1), cos(3,5), cos(4,9).
3) Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) y=cos(x+?/6); б) y=-cos(x);
в) y=2cos(x)-1; г) y=cos(x/2).

1) Основные свойства функции $$y=\cos x$$:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-1;1]$$;
• функция чётная: $$\cos(-x)=\cos x$$;
• периодическая, период $$T=2\pi$$;
• $$\cos x=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
• $$\cos x>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
• $$\cos x<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
• возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;\ 2\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[2\pi n;\ \pi+2\pi n\right]$$;
• $$x_{\max}=2\pi n,\ y_{\max}=1$$;
• $$x_{\min}=\pi+2\pi n,\ y_{\min}=-1$$.

2) Используем убывание функции $$\cos x$$ на промежутке $$[0;\pi]$$ и чётность функции.

а) $$0<0{,}3<1{,}8<\pi,\quad 0<2{,}9<\pi.$$

Значит, в порядке возрастания:

$$\cos(-2{,}9),\ \cos(1{,}8),\ \cos(0{,}3).$$

б) $$\pi<4{,}4<5{,}3<6{,}2<2\pi.$$

На отрезке $$[\pi;2\pi]$$ функция $$\cos x$$ возрастает, поэтому:

$$\cos(4{,}4),\ \cos(5{,}3),\ \cos(6{,}2).$$

в) $$0<0{,}5<1{,}3<\pi,\quad 0<3<\pi.$$

Так как $$\cos x$$ убывает на $$[0;\pi]$$, то:

$$\cos(3),\ \cos(-1{,}3),\ \cos(0{,}5).$$

г) $$\pi<3{,}5<4{,}9<6{,}1<2\pi.$$

На $$[\pi;2\pi]$$ функция $$\cos x$$ возрастает, значит:

$$\cos(3{,}5),\ \cos(4{,}9),\ \cos(6{,}1).$$

3) Исследуем функции.

а) $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right),\ x\in\mathbb{R}.$$

• $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-1;1]$$, $$T=2\pi$$;
• функция не является чётной;
• $$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
• $$y(0)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
• $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
• $$y<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
• возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\ -\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$;
• $$x_{\min}=-\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ y_{\min}=-1$$;
• $$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ y_{\max}=1$$.

б) $$y=-\cos x,\ x\in\mathbb{R}.$$

• $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-1;1]$$, $$T=2\pi$$;
• функция чётная;
• $$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
• $$y(0)=-1$$;
• $$y>0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
• $$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
• возрастает на $$\left[2\pi n;\ \pi+2\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\ 2\pi n\right]$$;
• $$x_{\min}=2\pi n,\ y_{\min}=-1$$;
• $$x_{\max}=\pi+2\pi n,\ y_{\max}=1$$.

в) $$y=2\cos x-1,\ x\in\mathbb{R}.$$

• $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-3;1]$$, $$T=2\pi$$;
• функция чётная;
• $$y(0)=2\cdot 1-1=1$$;
• $$y=0$$ при $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
• $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
• $$y<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{3}+2\pi n\right)$$;
• возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;\ 2\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[2\pi n;\ \pi+2\pi n\right]$$;
• $$x_{\min}=\pi+2\pi n,\ y_{\min}=-3$$;
• $$x_{\max}=2\pi n,\ y_{\max}=1$$.

г) $$y=\cos\frac{x}{2},\ x\in\mathbb{R}.$$

• $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=[-1;1]$$, $$T=4\pi$$;
• функция чётная;
• $$y=0$$ при $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
• $$y(0)=1$$;
• $$y>0$$ при $$x\in\left(-\pi+4\pi n;\ \pi+4\pi n\right)$$;
• $$y<0$$ при $$x\in\left(\pi+4\pi n;\ 3\pi+4\pi n\right)$$;
• возрастает на $$\left[-2\pi+4\pi n;\ 4\pi n\right]$$;
• убывает на $$\left[4\pi n;\ 2\pi+4\pi n\right]$$;
• $$x_{\min}=2\pi+4\pi n,\ y_{\min}=-1$$;
• $$x_{\max}=4\pi n,\ y_{\max}=1$$.

Ответ

1) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=[-1;1],\ T=2\pi$$; функция чётная; нули: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; $$\cos x>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$; $$\cos x<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)$$.

2) а) $$\cos(-2{,}9),\ \cos(1{,}8),\ \cos(0{,}3)$$; б) $$\cos(4{,}4),\ \cos(5{,}3),\ \cos(6{,}2)$$; в) $$\cos(3),\ \cos(-1{,}3),\ \cos(0{,}5)$$; г) $$\cos(3{,}5),\ \cos(4{,}9),\ \cos(6{,}1)$$.

3) Для каждой функции указаны область определения, множество значений, период, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума.