Упр.19 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 15^log(3; 10) и 10^log(3; 15); б) (v2+v3) и (v30-v3);
в) sin(2,1) и sin(7,98); г) (v8+v5) и (v3+v10).

а) Пусть

$$A=15^{\log_3 10}, \qquad B=10^{\log_3 15}.$$

Тогда

$$\log_3 A=\log_3\left(15^{\log_3 10}\right)=\log_3 10\cdot \log_3 15,$$

$$\log_3 B=\log_3\left(10^{\log_3 15}\right)=\log_3 15\cdot \log_3 10.$$

Следовательно, $$\log_3 A=\log_3 B,$$ значит, $$A=B.$$

б) Сравним квадраты:

$$\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2=2+3+2\sqrt6=5+2\sqrt6,$$

$$\left(\sqrt{30}-\sqrt3\right)^2=30+3-2\sqrt{90}=33-2\sqrt{90}.$$

Проверим неравенство

$$5+2\sqrt6<33-2\sqrt{90}.$$

Перенесём:

$$2\sqrt6+2\sqrt{90}<28,$$

$$\sqrt6+\sqrt{90}<14.$$

Возведём в квадрат:

$$6+90+2\sqrt{540}<196,$$

$$2\sqrt{540}<100,$$

$$\sqrt{540}<50,$$

$$540<2500,$$

что верно. Значит,

$$\sqrt2+\sqrt3<\sqrt{30}-\sqrt3.$$

в) Так как функция $$y=\sin x$$ возрастает на промежутке $$\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$$, а

$$\frac{\pi}{2}<2{,}1<\pi,$$

$$\frac{5\pi}{2}<7{,}98<3\pi,$$

то

$$\sin 2{,}1<\sin 7{,}98.$$

г) Сравним квадраты:

$$\left(\sqrt8+\sqrt5\right)^2=8+5+2\sqrt{40}=13+2\sqrt{40},$$

$$\left(\sqrt3+\sqrt{10}\right)^2=3+10+2\sqrt{30}=13+2\sqrt{30}.$$

Так как $$\sqrt{40}>\sqrt{30},$$ то

$$13+2\sqrt{40}>13+2\sqrt{30},$$

следовательно,

$$\sqrt8+\sqrt5>\sqrt3+\sqrt{10}.$$

Ответ

а) $$15^{\log_3 10}=10^{\log_3 15}$$; б) $$\sqrt2+\sqrt3<\sqrt{30}-\sqrt3$$; в) $$\sin 2{,}1<\sin 7{,}98$$; г) $$\sqrt8+\sqrt5>\sqrt3+\sqrt{10}$$.