Упр.189 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) 2^sin^2(x)+4·2^cos^2(x)=6; б) 3^lg(tg(x))-2·3^(lg(ctg(x))+1=1;
в) 4^(3+2cos(2x))-7·4^(1+cos(2x))=4^(1/2); г) (2sin(x))^cos(x)=1.
а) $$2^{\sin^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$
Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем
$$2^{1-\cos^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$
Положим $$y=2^{\cos^2 x}.$$ Тогда
$$\frac{2}{y}+4y=6,$$
$$2y^2-3y+1=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
Если $$y=\frac12,$$ то $$2^{\cos^2 x}=\frac12=2^{-1},$$ значит $$\cos^2 x=-1,$$ что невозможно.
Если $$y=1,$$ то $$2^{\cos^2 x}=1,$$ откуда $$\cos^2 x=0,$$ значит $$\cos x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$3^{\lg(\tg x)}-2\cdot 3^{\lg(\ctg x)+1}=1.$$
Так как $$\ctg x=\frac1{\tg x},$$ то
$$3^{\lg(\ctg x)+1}=3\cdot 3^{\lg(1/\tg x)}=3\cdot 3^{-\lg(\tg x)}.$$
Получаем
$$3^{\lg(\tg x)}-6\cdot 3^{-\lg(\tg x)}=1.$$
Положим $$y=3^{\lg(\tg x)}.$$ Тогда
$$y-\frac{6}{y}=1,$$
$$y^2-y-6=0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{1+5}{2}=3.$$
Так как $$y=3^{\lg(\tg x)}>0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит.
При $$y=3$$ имеем
$$3^{\lg(\tg x)}=3,$$
$$\lg(\tg x)=1,$$
$$\tg x=10.$$
Следовательно,
$$x=\arctg 10+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$4^{3+2\cos 2x}-7\cdot 4^{1+\cos 2x}=4^{1/2}.$$
Преобразуем:
$$64\cdot 4^{2\cos 2x}-7\cdot 4\cdot 4^{\cos 2x}=2.$$
Положим $$y=4^{\cos 2x}.$$ Тогда
$$64y^2-28y=2,$$
$$32y^2-14y-1=0.$$
$$D=14^2+4\cdot 32\cdot 1=196+128=324,$$
$$y_1=\frac{14-18}{64}=-\frac{1}{16},\qquad y_2=\frac{14+18}{64}=\frac12.$$
Так как $$y=4^{\cos 2x}>0,$$ значение $$y=-\frac{1}{16}$$ не подходит.
При $$y=\frac12$$ получаем
$$4^{\cos 2x}=\frac12,$$
$$2^{2\cos 2x}=2^{-1},$$
$$2\cos 2x=-1,$$
$$\cos 2x=-\frac12.$$
Тогда
$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$(2\sin x)^{\cos x}=1.$$
Чтобы степень была равна $$1,$$ возможны два случая:
1) $$2\sin x=1,$$ тогда
$$\sin x=\frac12,$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos x=0,$$ тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
При этом нужно, чтобы основание было положительным: $$2\sin x>0.$$ Для $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ это выполняется только при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$ б) $$x=\arctg 10+\pi n;$$ в) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n;$$ г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
