Упр.188 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) |x-3|^(3x^2-10x+3)=1; б) x^(5/4-2cos(3x))=x^(1/4);
в) |x-2|^(10x^2-3x-1)=1; г) 2^|x|=sin(x^2).

Подробный ответ

а) $$|x-3|^{3x^2-10x+3}=1$$
Произведение степени равно $$1$$ в двух случаях:
1) $$|x-3|=1$$, тогда
$$ x-3=\pm 1 $$
$$ x=2,\;4 $$
2) $$3x^2-10x+3=0$$, при этом $$x\ne 3$$.
$$ D=100-36=64 $$
$$ x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6} $$
$$ x_1=\frac13,\quad x_2=3 $$
Значение $$x=3$$ не подходит, так как основание степени равно $$0$$. Поэтому остаётся $$x=\frac13$$.
Итак, $$x=\frac13,\;2,\;4$$.
б) $$x^{\frac54-2\cos 3x}=x^{\frac14}$$
Для действительных значений удобно рассмотреть случай $$x>0$$. Тогда при равных основаниях получаем:
$$ \frac54-2\cos 3x=\frac14 $$
$$ 1-2\cos 3x=0 $$
$$ \cos 3x=\frac12 $$
$$ 3x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb N $$
$$ x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in \mathbb N $$
Кроме того, при $$x=1$$ имеем $$1^{\frac54-2\cos 3}=1^{\frac14}=1$$, значит $$x=1$$ тоже является решением.
Итак, $$x=1,\;\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in \mathbb N$$.
в) $$|x-2|^{10x^2-3x-1}=1$$
Снова возможны два случая:
1) $$|x-2|=1$$, тогда
$$ x-2=\pm 1 $$
$$ x=1,\;3 $$
2) $$10x^2-3x-1=0$$, при этом $$x\ne 2$$.
$$ D=9+40=49 $$
$$ x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{20} $$
$$ x_1=-\frac15,\quad x_2=\frac12 $$
Итак, $$x=-\frac15,\;\frac12,\;1,\;3$$.
г) $$2^{|x|}=\sin(x^2)$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то
$$ 2^{|x|}\ge 1 $$
С другой стороны,
$$ \sin(x^2)\le 1 $$
Равенство возможно только при $$2^{|x|}=1$$ и $$\sin(x^2)=1$$. Но $$2^{|x|}=1$$ только при $$x=0$$, а тогда
$$ \sin(0^2)=0 $$
Противоречие. Следовательно, корней нет.