Упр.187 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (v(5+v24))^x+(v(5-v24))^x=10;
б) 3^x+4^x=25;
в) (2+v3)^x+(2-v3)^x=4;
г) (2+v3)^x+(2-v3)^x=4^x.

а) Обозначим $$y=\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x.$$ Тогда

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x+\left(\sqrt{5-\sqrt{24}}\right)^x=10.$$

Так как

$$\sqrt{5-\sqrt{24}}=\frac{1}{\sqrt{5+\sqrt{24}}},$$

получаем

$$y+\frac{1}{y}=10.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-10y+1=0.$$

$$D=100-4=96,$$

$$y=\frac{10\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{10\pm 4\sqrt{6}}{2}=5\pm 2\sqrt{6}.$$

Но

$$5+\sqrt{24}=5+2\sqrt{6}, \qquad 5-\sqrt{24}=5-2\sqrt{6}.$$

Тогда:

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x=5+\sqrt{24} \Rightarrow x=2,$$

$$\left(\sqrt{5+\sqrt{24}}\right)^x=5-\sqrt{24} \Rightarrow x=-2.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$3^x+4^x=25.$$

Функция $$3^x+4^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит решение может быть только одно. Проверим $$x=2$$:

$$3^2+4^2=9+16=25.$$

Следовательно, $$x=2$$.

в) Обозначим $$y=(2+\sqrt{3})^x.$$ Тогда

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4.$$

Так как

$$2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}},$$

получаем

$$y+\frac{1}{y}=4.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-4y+1=0.$$

$$D=16-4=12,$$

$$y=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}.$$

Тогда:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2+\sqrt{3} \Rightarrow x=1,$$

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2-\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^{-1} \Rightarrow x=-1.$$

г) Перепишем уравнение:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=4^x.$$

Так как $$2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$$, положим

$$f(x)=\left(2-\sqrt{3}\right)^x,\qquad g(x)=4^x-\left(2+\sqrt{3}\right)^x.$$

Функция $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит решение может быть только одно. Проверим $$x=1$$:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)=4,$$

$$4^1=4.$$

Равенство выполняется, значит $$x=1$$.

Ответ

а) $$-2; \ 2$$; б) $$2$$; в) $$-1; \ 1$$; г) $$1$$.