Упр.187 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {xvy+yvx=30, vx+vy=5}; б) {x+y-v(xy)=7, xy=9};
в) {vx+vy=6, x-y=12}; г) {xy=64, x-y+v(xy)=20}.

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\sqrt{y}=5-\sqrt{x}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\sqrt{xy}\,(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30,$$
$$\sqrt{xy}\cdot 5=30,$$
$$\sqrt{xy}=6.$$
Тогда
$$\sqrt{x(5-\sqrt{x})}=6,$$
$$x(5-\sqrt{x})=36.$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$ и получаем:
$$t^2(5-t)=36,$$
$$t^3-5t^2+36=0.$$
Проверим подходящие значения из условия $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=5$$ и $$\sqrt{xy}=6$$: это $$\sqrt{x}=2,\ \sqrt{y}=3$$ или $$\sqrt{x}=3,\ \sqrt{y}=2$$.
Значит,
$$x=4,\ y=9$$ или $$x=9,\ y=4.$$
б)
$$\begin{cases} x+y-\sqrt{xy}=7,\\ xy=9 \end{cases}$$
Так как $$\sqrt{xy}=3$$, то
$$x+y-3=7,$$
$$x+y=10.$$
Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-10t+9=0,$$
$$D=100-36=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}.$$
Получаем $$t_1=1,\ t_2=9.$$
Следовательно,
$$ (x,y)=(1,9)\ \text{или}\ (9,1). $$
в)
$$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=6,\\ x-y=12 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\sqrt{y}=6-\sqrt{x}.$$
Подставим во второе:
$$x-(6-\sqrt{x})^2=12,$$
$$x-(36-12\sqrt{x}+x)=12,$$
$$12\sqrt{x}=48,$$
$$\sqrt{x}=4.$$
Тогда
$$x=16,\qquad y=(6-4)^2=4.$$
г)
$$\begin{cases} xy=64,\\ x-y+\sqrt{xy}=20 \end{cases}$$
Так как $$\sqrt{xy}=8$$, то
$$x-y+8=20,$$
$$x-y=12,$$
$$y=x-12.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x(x-12)=64,$$
$$x^2-12x-64=0,$$
$$D=144+256=400,$$
$$x_{1,2}=\frac{12\pm 20}{2}.$$
Получаем $$x_1=-4,\ x_2=16.$$ Тогда
$$y_1=-16,\ y_2=4.$$