Упр.185 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 185. Решите систему уравнений {tg(x/2)+tg(y/2)=2/v3, tg(x)+tg(y)=2v3}.
Обозначим
$$a=\tg \frac{x}{2}, \qquad b=\tg \frac{y}{2}.$$
Тогда из формулы двойного угла
$$\tg x=\frac{2a}{1-a^2}, \qquad \tg y=\frac{2b}{1-b^2}.$$
Система принимает вид
$$ a+b=\frac{2}{\sqrt{3}}, \qquad \frac{2a}{1-a^2}+\frac{2b}{1-b^2}=2\sqrt{3}. $$
Умножим второе уравнение на $$(1-a^2)(1-b^2)$$:
$$ 2a(1-b^2)+2b(1-a^2)=2\sqrt{3}(1-a^2)(1-b^2). $$
Раскроем скобки и воспользуемся равенством $$a+b=\frac{2}{\sqrt{3}}$$:
$$ 2a+2b-2ab(a+b)=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}(a^2+b^2)+2\sqrt{3}a^2b^2. $$
Так как
$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=\frac{4}{3}-2ab, $$
получаем
$$ \frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{4}{\sqrt{3}}ab =2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\left(\frac{4}{3}-2ab\right)+2\sqrt{3}a^2b^2. $$
После упрощения:
$$ 3a^2b^2+8ab-3=0. $$
Обозначим $$t=ab$$. Тогда
$$ 3t^2+8t-3=0. $$
$$ D=8^2+4\cdot 3\cdot 3=100, $$
$$ t_1=\frac{-8-10}{6}=-3, \qquad t_2=\frac{-8+10}{6}=\frac13. $$
Теперь найдём $$a$$ и $$b$$ из системы
$$ a+b=\frac{2}{\sqrt{3}}, \qquad ab=t. $$
1) Если $$ab=-3$$, то числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ u^2-\frac{2}{\sqrt{3}}u-3=0. $$
$$ D=\frac{4}{3}+12=\frac{40}{3}, $$
откуда
$$ u=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\pm \sqrt{\frac{40}{3}}}{2} =\frac{1\pm \sqrt{10}}{\sqrt{3}}. $$
Значит,
$$ (a,b)=\left(\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}},\frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\right) \quad \text{или} \quad \left(\frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}},\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\right). $$
2) Если $$ab=\frac13$$, то
$$ u^2-\frac{2}{\sqrt{3}}u+\frac13=0. $$
$$ \left(u\sqrt{3}-1\right)^2=0, $$
следовательно,
$$ a=b=\frac{1}{\sqrt{3}}. $$
Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y$$, получаем:
$$ \tg \frac{x}{2}=\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, \qquad \tg \frac{y}{2}=\frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, $$
или
$$ \tg \frac{x}{2}=\frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, \qquad \tg \frac{y}{2}=\frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}, $$
или
$$ \tg \frac{x}{2}=\tg \frac{y}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}. $$
Отсюда
$$ x=2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k,\qquad y=2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n, $$
или
$$ x=2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k,\qquad y=2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n, $$
или
$$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad y=\frac{\pi}{3}+2\pi n, $$
где $$k,n\in \mathbb{Z}$$.
Ответ
$$ \left(2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k;\; 2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n\right), $$
$$ \left(2\arctg \frac{1-\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi k;\; 2\arctg \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{3}}+2\pi n\right), $$
$$ \left(\frac{\pi}{3}+2\pi k;\; \frac{\pi}{3}+2\pi n\right), \qquad k,n\in \mathbb{Z}. $$
