Упр.184 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) {x-5y=7, ax-y=-3}; б) {x+2y=a, 2x+4y=5};
в) {x+ay=2, 3x-2y=-6}; г) {x-y=2, 2x-2y=2a};
имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений?
а)
Определим, когда система имеет единственное решение, нет решений или бесконечно много решений.
Из первого уравнения:
$$x=5y+7$$
Подставим во второе:
$$a(5y+7)-y=-3$$
$$5ay+7a-y=-3$$
$$y(5a-1)=-7a-3$$
Если $$5a-1\ne 0$$, то
$$y=\frac{-7a-3}{5a-1}$$
Значит, при $$a\ne \frac15$$ система имеет единственное решение.
Если $$a=\frac15$$, получаем:
$$0\cdot y=-7\cdot \frac15-3=-\frac{22}{5}$$
Это невозможно, значит решений нет.
б)
Из первого уравнения:
$$x=a-2y$$
Подставим во второе:
$$2(a-2y)+4y=5$$
$$2a-4y+4y=5$$
$$2a=5$$
Если $$a\ne \frac52$$, система несовместна и решений нет.
Если $$a=\frac52$$, то второе уравнение совпадает с первым, поэтому решений бесконечно много.
в)
Из первого уравнения:
$$x=2-ay$$
Подставим во второе:
$$3(2-ay)-2y=-6$$
$$6-3ay-2y=-6$$
$$y(-3a-2)=-12$$
Если $$-3a-2\ne 0$$, то
$$y=\frac{12}{3a+2}$$
Следовательно, при $$a\ne -\frac23$$ система имеет единственное решение.
Если $$a=-\frac23$$, получаем противоречие, значит решений нет.
г)
Из первого уравнения:
$$x=y+2$$
Подставим во второе:
$$2(y+2)-2y=2a$$
$$4=2a$$
$$a=2$$
Если $$a=2$$, уравнения совпадают, значит решений бесконечно много.
Если $$a\ne 2$$, система решений не имеет.
Ответ
а) единственное решение при $$a\ne \frac15$$, нет решений при $$a=\frac15$$;
б) бесконечно много решений при $$a=\frac52$$, нет решений при $$a\ne \frac52$$;
в) единственное решение при $$a\ne -\frac23$$, нет решений при $$a=-\frac23$$;
г) бесконечно много решений при $$a=2$$, нет решений при $$a\ne 2$$.
