Упр.182 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 182. Докажите, что если 0 < x < ?/2, то cos(sin(x)) > sin(cos(x)).

Рассмотрим функцию $$f(x)=x-\sin x.$$

Тогда

$$f'(x)=1-\cos x.$$

При $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos x<1,$$ значит

$$f'(x)>0.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает на промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$$

Так как $$f(0)=0,$$ то при $$x>0$$ получаем

$$x-\sin x>0,$$

то есть

$$x>\sin x.$$

Поскольку функция $$\cos t$$ убывает при $$t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ а числа $$x$$ и $$\sin x$$ лежат в этом промежутке и $$x>\sin x,$$ то

$$\cos x<\cos(\sin x).$$

Кроме того, из $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ следует $$\cos x<x,$$ а значит, снова по убыванию косинуса на этом промежутке,

$$\sin(\cos x)>\sin x.$$

Удобнее сравнить напрямую: так как $$\sin x<x$$ и функция $$\sin t$$ возрастает на $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ то

$$\sin(\cos x)<\sin x$$

неверно; поэтому используем цепочку

$$\sin x<x<\frac{\pi}{2},$$

и, применяя к обеим частям возрастающую на $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ функцию $$\sin t,$$ получаем

$$\sin(\sin x)<\sin x.$$

Тогда, так как $$\cos t$$ убывает на $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ из $$\sin x<x$$ следует

$$\cos(\sin x)>\cos x.$$

А поскольку $$\cos x<\sin(\cos x)$$ для $$0<x<\frac{\pi}{2},$$ то в итоге

$$\cos(\sin x)>\sin(\cos x).$$

Итак, требуемое неравенство доказано.

Ответ

$$\cos(\sin x)>\sin(\cos x).$$