Упр.181 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {y/x+x/y=13/y, x+y=5}; б) {x-y=1, x^3-y^3=7};
в) {y/x=2, (x-1)^2+y^2=1}; г) {x^3+y^3=35, x+y=5}.

Подробный ответ

а)
Из второго уравнения получаем $$x+y=5,$$ значит $$y=5-x.$$ Подставим в первое:
$$ \frac{5-x}{x}+\frac{x}{5-x}=\frac{13}{6} $$
Умножим на $$6x(5-x):$$
$$ 6(5-x)^2+6x^2=13x(5-x) $$
$$ 150-60x+6x^2+6x^2=65x-13x^2 $$
$$ 25x^2-125x+150=0 $$
$$ x^2-5x+6=0 $$
$$ (x-2)(x-3)=0 $$
Тогда $$x=2$$ или $$x=3.$$ Соответственно,
$$y=3$$ или $$y=2.$$
Получаем решения: $$ (2;3),\ (3;2). $$
б)
Из первого уравнения $$x-y=1,$$ значит $$y=x-1.$$ Подставим во второе:
$$ x^3-(x-1)^3=7 $$
$$ (x-(x-1))(x^2+x(x-1)+(x-1)^2)=7 $$
$$ x^2+x(x-1)+(x-1)^2=7 $$
$$ 3x^2-3x+1=7 $$
$$ 3x^2-3x-6=0 $$
$$ x^2-x-2=0 $$
$$ (x-2)(x+1)=0 $$
Тогда $$x=2$$ или $$x=-1.$$ Найдём $$y$$:
при $$x=2$$ имеем $$y=1,$$ при $$x=-1$$ имеем $$y=-2.$$
Получаем решения: $$(-1;-2),\ (2;1).$$
в)
Из первого уравнения $$\frac{y}{x}=2,$$ значит $$y=2x.$$ Подставим во второе:
$$ (x-1)^2+(2x)^2=1 $$
$$ x^2-2x+1+4x^2=1 $$
$$ 5x^2-2x=0 $$
$$ x(5x-2)=0 $$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac{2}{5}.$$ Но при $$x=0$$ выражение $$\frac{y}{x}$$ не имеет смысла, значит этот корень не подходит.
При $$x=\frac{2}{5}$$ получаем
$$y=2x=\frac{4}{5}.$$
Ответ: $$\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right).$$
г)
Из второго уравнения $$x+y=5,$$ значит $$y=5-x.$$ Используем формулу суммы кубов:
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$
Тогда
$$ 5(x^2-x(5-x)+(5-x)^2)=35. $$
Упростим:
$$ 5(x^2-5x+x^2+25-10x+x^2)=35 $$
$$ 15x^2-75x+125=35 $$
$$ 3x^2-15x+18=0 $$
$$ x^2-5x+6=0 $$
$$ (x-2)(x-3)=0 $$
Значит, $$x=2$$ или $$x=3.$$ Тогда $$y=3$$ или $$y=2.$$
Получаем решения: $$ (2;3),\ (3;2). $$